外心三角形の不思議(その1)

先日、「外心三角形」なるものを考えてみました。もしかしたら、既に誰かが定義していて、その性質などの研究もあるのかもしれませんが、私は聞いたことがなかったので、勝手に命名させていただきました。
定義 僊BCと、その内部、あるいは外部の点Pに対して、傳PC,僂PA、僊PBの外心をそれぞれO1,O2,O3とする。これらの点を頂点とする三角形(儖1O2O3)を、「外心三角形」と呼ぶ

点Pの位置により、外心三角形は様々に変化するようです。点Pが、垂心、外心、内心、傍心、重心にあるときに見つけた図形的な性質、等角共役点との関係などを、何回かに分けて紹介してゆくつもりです。

僊BCの垂心Hに対する外心三角形儖1O2O3について次の(1)から(3)が成立する。
(1) 儖1O2O3は、僊BCと合同で、垂心Hと外心Oの中点について互いに点対称の位置にある。
(2) 儖1O2O3の垂心、外心は、それぞれ僊BCの外心O、垂心Hに一致する。
(3) 僊BCと儖1O2O3は共通の9点円をもつ。さらに、僊BCの3辺、儖1O2O3の3辺、及び、その共通の9点円すべてに同時に接し、垂心Hと外心Oを焦点にもつ2次曲線(楕円または双曲線)が存在する。

ただし、(3)の結論については、すでに、「三角形ABCの3辺とその9点円に接し、垂心H、外心Oを焦点にもつ2次曲線が存在する」ことが知られていて、たまたま、この2次曲線が儖1O2O3にも接するというだけのことで、知られている事実以上のものではありません。

次に(1)、(2)の性質をcinderellaの図で確かめてみましょう。次の図1がその図です。僊BCの頂点のどれかを左クリックしながらドラッグすると、図形を動かすことができます。ご覧の通り性質(1)と(2)が成り立っている様子が分かります。僊BCの頂点から対辺への垂線は、儖1O2O3の辺の垂直2等分線であり、僊BCの辺の垂直2等分線は、儖1O2O3の頂点から対辺への垂線となり、役割が逆転しています。したがって、2つの三角形の間で、垂心、外心の役割がちょうど逆転しています。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図1

図が複雑になるので、性質(3)を確認する図形を、次の図2に分けて示します。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図2

外心の外心三角形の性質については、「外心三角形の不思議(その2)」で紹介しましょう。

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