外心三角形の不思議(その2)

外心三角形とは、私が勝手に定義し命名した三角形です。「外心三角形の不思議」シリーズでは、これについて紹介しています。

まず、「外心三角形」を次のように定義します。

定義 僊BCと、その内部、あるいは外部の点Pに対して、傳PC,僂PA、僊PBの外心をそれぞれO1,O2,O3とする。これらの点を頂点とする三角形(儖1O2O3)を、「外心三角形」と呼ぶ

「外心三角形の不思議(その1)」では、点Pが垂心の場合について調査しました。今回(その2)では、点Pが外心の場合について調査します。

僊BCの垂心をH、外心をO、頂点A,B,Cから対辺への垂線の足をそれぞれ点D,E,Fとおきましょう。僖EFを僊BCの”垂足三角形”といいます。(”垂心三角形”と記述している文献もあります。)

僊BCの外心Oに対する外心三角形儖1O2O3について次の(1)から(3)が成立する。
(1) 儖1O2O3は、僖EFと相似で、2つの三角形の対応する辺どうしは互いに平行である。したがって、相似の中心がある。
(2) 儖1O2O3の内心は、僊BCの外心Oに一致する。(僖EFの内心が、僊BCの垂心Hに一致することは有名である。)
(3) (1)の相似の中心をSとおくと、儖1O2O3の外心、内心(点O)、僊BCの垂心H、そして点Sは、僊BCのオイラー線上にある。

図1の僊BCの頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグすると、図形が変形し、上の性質(1)(2)(3)を確認できます。図の中で、儖1O2O3の内部を緑色で塗り、僖EFの内部を紫色で塗っています。2つの三角形の相似の中心を点S、儖1O2O3の外心をPで表し、(3)の4点が通る一直線をオレンジ色で表示しています。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図1

さらに、調査すると、外心の外心三角形は、接線三角形、円足三角形とも関係があることが分かってきました。

僊BCの外接円に対する点A,B,Cにおける接線で囲まれた三角形を儷VWとします。(この三角形を”接線三角形”といいます。)そして、僊BCの頂点A,B,Cから対辺への垂線と僊BCの外接円との交点を頂点とする三角形を儉MNとします。(この三角形を”円足三角形”といいます。)これと、既に図1で示している僖EF(”垂足三角形”)と主人公の”外心三角形”を合わせて、図2に図示しました。

その結果次のような性質が分かります。図2をご覧になると、状況が分かりやすいでしょう。

僊BCの外心Oに対する外心三角形儖1O2O3について次の(4)から(6)が成立する。
(4) 儖1O2O3は、僖EF、儷VW、儉MNと相似で、4つの三角形の対応する辺どうしは互いに平行である。
(5) 儖1O2O3と儷VWの相似の中心は点O(僊BCの外心)にあり、その相似比は1:2である。僖EFと儉MNの相似の中心は点H(僊BCの垂心)にあり、その相似比は1:2である。儷VWと儉MNの相似の中心と儖1O2O3と僖EFの相似の中心は等しい((1)で定義した点S)。
(6) 儷VWの外心、儖1O2O3の外心、僊BCの外心O、垂心H、相似の中心Sは、僊BCのオイラー線上にある。儷VWの外心をQ、儖1O2O3の外心をPとおくと、Pは線分QOの中点である。

このうち、幾つかの結果は既に上で述べた(1)(2)(3)に重複し、儖1O2O3に関すること以外は知られている結果です。それでも、たくさんの三角形が関わりながら調和している姿には驚いてしまいます。

図2の三角形ABCの頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグすると、図形を変形できます。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図2

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