外心三角形の不思議(その3)

外心三角形とは、私が勝手に定義し命名した三角形です。「外心三角形の不思議」シリーズでは、これについて紹介しています。

まず、「外心三角形」を次のように定義します。

定義 僊BCと、その内部、あるいは外部の点Pに対して、傳PC,僂PA、僊PBの外心をそれぞれO1,O2,O3とする。これらの点を頂点とする三角形(儖1O2O3)を、「外心三角形」と呼ぶ

外心三角形のシリーズで、「その1」では、点Pが垂心の場合について調べ、「その2」では、点Pが外心の場合について調べました。今回、「その3」では、点Pが内心、あるいは傍心の場合についての結果を紹介します。

僊BCの内心をI、3つの傍心をIa,Ib,Icとおきましょう。さらに、僊BCの内心Iに対する外心三角形の頂点(すなわち、傳IC,僂IA,僊IBの外心)をO1,O2,O3とし、傍心Ia,Ib,Icに対する外心三角形の頂点をO4,O5,O6とおきます。(図1を参照のこと)

より詳細に述べると、傳IcCの外心と傳IbCの外心を同一点O4、僂IaAの外心と僂IcAの外心を同一点O5、僊IaBの外心と僊IbBの外心を同一点O6としています。さらに、傳IaCの外心は点O1、僂IbAの外心は点O2、僊IcBの外心は点O3に一致するので、内心、傍心の外心三角形は合計4つありますが、それらの頂点は2点ずつが同一となるため、O1からO6までの6点となります。(図1を参照のこと)

僊BCの内心Iに対する外心三角形儖1O2O3、傍心に対する外心三角形儖1O4O6、儖2O5O4、儖3O6O5について次の(1)から(3)が成立する。
(1) 僊BCの内心、傍心の外心三角形の頂点O1、O2、O3、O4、O5、O6は、僊BCの外接円上に位置する。
(2) 僮O2O3≡儖1O4O6、僮O3O1≡儖2O5O4、僮O1O2≡儖3O6O5が成立し、これら互いに合同な図形の対応する辺どうしは平行である。

図2に、僊BCの内心、傍心に対する外心三角形を示しました。頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグすることにより、図形を変形できます。内心、傍心の外心三角形の頂点が、外接円(えんじ色の円)上に並んでいます。また、(2)の互いに合同な三角形を同色(青色、緑色、紫色)で内部を塗り分けています。内心の外心三角形儖1O2O3を3つの三角形に分解すると、傍心の外心三角形と合同になるところがオシャレですね。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図1

ただし、この結論は「内心、傍心と外接円の間の美しい関係(その2)」で述べた幾つかの性質とほとんど同じものです。しかし、内心、傍心の4つの外心三角形が、その頂点をきれいに円周をなしているという性質は、私にとってちょっとした発見でした。

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