外心三角形の不思議(その4)

外心三角形とは、私が勝手に定義し命名した三角形です。「外心三角形の不思議」シリーズでは、これについて紹介しています。

まず、「外心三角形」を次のように定義します。

定義 僊BCと、その内部、あるいは外部の点Pに対して、傳PC,僂PA、僊PBの外心をそれぞれO1,O2,O3とする。これらの点を頂点とする三角形(儖1O2O3)を、「外心三角形」と呼ぶ

外心三角形のシリーズで、「その1」で点Pが垂心の場合について、「その2」で点Pが外心の場合について、「その3」で点Pが内心、あるいは傍心の場合について調べました。今回「その4」では点Pが重心の場合について報告します。

僊BCの辺BC,辺CA,辺ABの中点をそれぞれ点D,点E,点Fとします。僖EFを、僊BCの中点三角形といいます。直線AD,BE,CFの交点を点Gとします。点Gは三角形の重心といいました。(「三角形の五心の定義」参照)。さらに、僊BCの重心Gの外心三角形を儖aObOcとおきます。ここで、傳GC、僂GA、僊GBの外心をそれぞれOa、Ob、Ocとしています。このとき、次の性質が成立するようです。(証明はまだしていません。)

(1) 直線OaD、直線ObE、直線OcFは一点で交わり、この交点をOとおくと、点Oは僊BCの外心であり、僖EFの垂心であり、儖aObOcの重心である。
(2) 直線ObOcと直線EFの交点、直線OcOaと直線FDの交点、直線OaObと直線DEの交点は同一直線上にあり、この直線は、僊BCの(あるいは僖EFの)オイラー線と直交する。(実は、僊BCのオイラー線と僖EFのオイラー線は同一である。)

図1にて(1)(2)を説明しています。僊BCの頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグすると、図形を変形できます。

図1中の濃い緑の直線が、僊BCのオイラー線、あるいは僖EFのオイラー線を表しています。点Oは僊BCの外心、点Gは僊BC、僖EF両方の重心です。さらに、点O'は僖EFの外心、点Hは僊BCの垂心を表します。

また、直線ObOcと直線EFの交点、直線OcOaと直線FDの交点、直線OaObと直線DEの交点が同一直線(図1のオレンジ色の直線)上に存在することは、デザルグの定理から示されますが、この直線はオイラー線(来い緑色の直線)に直交しているようです。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図1

さらに、次の性質が成り立ちます。

(3) 直線OaDと直線EFの交点、直線ObEと直線FDの交点、直線OcFと直線DEの交点をP,Q,Rとおくと、直線EFと直線QRの交点、直線FDと直線QPの交点、直線DEと直線PQの交点が一直線上に並び、再びこの直線は僊BCのオイラー線(=僖EFのオイラー線)に直交します。
(4) (3)の直線と(2)の直線は互いに平行で、これらの2直線は僊BCの重心G(=僖EFの重心)について点対称に位置する。

僊BCの頂点A,B,Cを左クリックしながらドラッグすると、図形が変形できます。(3)の3つの交点が一直線(黄色の直線)であることはデザルグの定理から分かります。さらにこの直線がオイラー線に直交することも証明できます。また、(3)の直線(黄色の直線)と(2)の直線(オレンジ色の直線)は、点Gにおいて点対称になっているようです。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図2

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