外心三角形の不思議(その5)

外心三角形とは、私が勝手に定義し命名した三角形です。「外心三角形の不思議」シリーズでは、これについて紹介しています。

まず、「外心三角形」を次のように定義します。

定義 僊BCと、その内部、あるいは外部の点Pに対して、傳PC,僂PA、僊PBの外心をそれぞれO1,O2,O3とする。これらの点を頂点とする三角形(儖1O2O3)を、「外心三角形」と呼ぶ

外心三角形のシリーズで、「その1」で点Pが垂心の場合について、「その2」で点Pが外心の場合について、「その3」で点Pが内心、あるいは傍心の場合について、「その4」で点Pが重心の場合について調べました。今回「その5」では、等角共役点との関係について、cinderellaの図とともに報告します。

まず、等角共役点を定義します。等角共役点については、数多くの性質が知られています。これについていずれまとめる予定ですが、今回は定義だけ述べましょう。

定義(等角共役点)僊BCの∠A、∠B、∠Cの内角の2等分線をそれぞれa,b,cとおく。僊BCと、任意の点Pに対して、直線APの直線aに関する線対称な直線、直線BPの直線bに関する線対称な直線、直線CPの直線cに関する線対称な直線、合計3つの直線はちょうど一点で交わる。このとき3直線の交点を点Pに対する等角共役点という。

定義中の「3つの直線はちょうど一点で交わる」は証明を要する部分ですが、「チェバの定理」により証明できます。証明についてはいずれ別の記事で紹介します。また、点Pの等角共役点をQとすると、点Qに対する等角共役点は点Pになることは、定義から自明でしょう。

初めての方には、「等角共役点」の定義は込み入って分かりにくいかもしれません。図1に等角共役点を図示しましたので、点Pからどのように等角共役点が定まるかを理解する助けにして下さい。

図1に僊BCと点Pがあります。∠A,∠B,∠Cの角の2等分線(定義中の直線a,b,c)を図中で濃い緑で表しています。そして、これらの直線a,b,cに関して、直線AP、直線BP、直線CPの線対称な直線をオレンジ色の直線で表しました。定義で述べている通り、図の中でオレンジ色の3つの直線は確かに一点で交わっていることが分かります。そして、この3直線の交点(図の点Q)が、点Pの等角共役点でした。

図の僊BCの頂点A,B,C、そして点Pのどれかを左クリックしながらドラッグすると、頂点が動きます。点Pが移動すると、点Qは点Pと反対向きに移動するようですね。

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図1

さて、これからが本題です。僊BCの互いに等角共役な2点(図1の点Pと点Q)の外心三角形に関して何が成立するかを、cinderellaで調べてみました。図を作るのは簡単ですが証明はまだしていません。しかし、どうやら以下に説明する性質が成立するようです。

僊BCの互いに等角共役な点P、点Qがあるとする。点P、点Qの外心三角形をそれぞれ、儕aPbPc、儔aQbQcとおく。ここで、傳PCの外心をPa、僂QAの外心をQbなどとする。このとき、
(1) 直線PaQa、直線PbQb、直線PcQcは僊BCの外心Oで交わる。
(2) 直線PbPcと直線QbQcの交点をRa、直線PcPaと直線QcQaの交点をRb、直線PaPbと直線QaQbの交点をRcとすると、3点Ra,Rb,Rcは線分PQの垂直2等分線上に並ぶ。
(3) 僊BC、儕aPbPc、儔aQbQそれぞれの外接円と僊BCの垂心と外心の垂直2等分線は、2点で交わる。(この2点がどのような点かは今のところ不明、だれか教えて!)

上の性質(1)(2)を説明する図を図2に示しました。僊BCの頂点A,B,Cそして点Pのどれかを左クリックしながらドラッグすると図形を変形できます。

点Pの外心三角形儕aPbPcの内部を水色で塗り、点Qの外心三角形儔aQbQcの内部を紫色で塗りました。2つの外心三角形の対応する頂点を結んだ直線PaQa、直線PbQb、直線PcQcが外心Oで交わっています。また、2つの三角形の辺QcQa、辺PcPaの交点、辺QaQb、辺PaPbの交点が、線分PQの垂直2等分線(えんじ色の直線)上にあることが分かります。(辺QbQcと辺PbPcを延長させれば、これらの交点もえんじ色の直線にありますが図示されていません。)

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図2

さらに、性質(3)を説明する図を図3に示しました。僊BCの頂点A,B,C、そして点Pのどれかを左クリックしながらドラッグすると図形を変形できます。

僊BCとその外接円、外心を黄緑色で、儕aPbPcとその外接円、外心を水色で、儔aQbQcとその外接円、外心を紫色で示しています。3つの三角形の外接円と、えんじ色の直線(線分PQの垂直2等分線)が2点で交わっていますね。

ところで、この2点はどのような点なのでしょうか?何らかの意味を持った点のような気がするのですが、今のところ分かりません。誰か分かったかたは教えてください。

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図3

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