外心三角形の不思議(その6)

外心三角形とは、私が勝手に定義し命名した三角形です。「外心三角形の不思議」シリーズでは、これについて紹介しています。

まず、「外心三角形」を次のように定義します。

定義 僊BCと、その内部、あるいは外部の点Pに対して、傳PC,僂PA、僊PBの外心をそれぞれO1,O2,O3とする。これらの点を頂点とする三角形(儖1O2O3)を、「外心三角形」と呼ぶ

外心三角形のシリーズで、「その1」で点Pが垂心の場合について、「その2」で点Pが外心の場合について、「その3」で点Pが内心、あるいは傍心の場合について、「その4」で点Pが重心の場合について、「その5」で等角共役点との関係について調べました。今回「その6」では等角共役点との関係についてさらに報告します。

「外心三角形の不思議(その4)」にて、等角共役点のより詳しい説明とcinderellaの図を示しましたので、参考にして下さい。ここでは「等角共役点」の定義のみを述べ、本題に入ります。

定義(等角共役点)僊BCの∠A、∠B、∠Cの内角の2等分線をそれぞれa,b,cとおく。僊BCと、任意の点Pに対して、直線APの直線aに関する線対称な直線、直線BPの直線bに関する線対称な直線、直線CPの直線cに関する線対称な直線、合計3つの直線はちょうど一点で交わる。このとき3直線の交点を点Pに対する等角共役点という。

等角共役点の外心三角形の面白い性質をさらに紹介するために、垂足三角形を定義します。

定義 僊BCと点Pがあるとする。点Pから辺BC,CA,ABへ下ろした垂線の足を頂点とする三角形を、点Pの垂足三角形という。(通常、僊BCの垂心Hの垂足三角形のことを”垂足三角形”といいますが、ここでは上のように定義する。)

互いに等角共役な2点の垂足三角形と、外心三角形の間に現れるすごい性質を報告します。

僊BCと互いに等角共役な2点P,Qがあるとします。そして点Pの外心三角形、垂足三角形を儕aPbPc、儕'aP'bP'c、点Qの外心三角形、垂足三角形を儔aQbQc、儔'aQ'bQ'cなどと表すことにします。ここで、傳PCの外心をPa、僂QAの外心をQb、点Pから辺BCへの垂線の足をP'a、点Qから辺CAへの垂線の足をQ'bなどと決めました。(図1参照。)

僊BCと互いに等角共役な2点P,Qがあるとする。このとき、
(1) 点P、点Qの垂足三角形の頂点P'a、P'b、P'c、Q'a、Q'b、Q'cの合計6個の点は、同一円周上にある。
(2) ある点の外心三角形と、その等角共役点の垂足三角形は互いに相似であり、対応する辺どうしは平行である。したがって相似の中心をもつ。すなわち、
(a) 儕aPbPc∽儔'aQ'bQ'c (b) 儔aQbQv∽儕'aP'bP'c
(3) 僊BCの外心をO、(2)の(a)(b)の相似の中心をそれぞれSq、Spとすると、点O、点P、点Sp、および点O、点Q、点Sqはそれぞれ同一直線上にある。

(1)の性質は等角共役点に関する有名な性質なので、参考までに紹介しました。しかし(2)、(3)の性質は知られていないように思います。私はcinderellaで適当に図を作ってみて発見しただけで、証明していません。ある点の外心三角形とそれに等角共役な点の垂足三角形が相似というのに驚きました。下の図1の僊BCの頂点A,B,C、そして点Pのどれかを左クリックしながらドラッグすることにより図形を変形できます。図を見る限り(2)、(3)の性質は確かに正しいようですね。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図1

ところで、等角共役点は三角形の五心とどのような関係があるのでしょうか?次の事実が知られています。(詳しくは、いずれ、等角共役点についてまとめます。)

(4) 僊BCの外心と垂心は互いに等角共役である。
(5) 僊BCの内心の等角共役点は内心自身である。傍心の等角共役点はその傍心自身である。
(6) 僊BCの重心の等角共役点はルモアーヌ点である。(魅力的な”ルモアーヌ点”についてはいずれ記事にします。)

これより、等角共役点の外心三角形に関する性質(2)より、外心、垂心、内心、傍心の外心三角形、垂足三角形について以下のことも成立することになります。

  • 僊BCの外心の外心三角形と垂心の垂足三角形は相似である。
  • 僊BCの外心の垂足三角形と垂心の外心三角形は相似である。(僊BCとも相似であった。)
  • 僊BCの内心の外心三角形は、内心の垂足三角形と相似である。
  • 僊BCの傍心の外心三角形は、その傍心の垂足三角形と相似である。

どうですか?外心三角形はなかなか魅力的な研究分野だと思います。それにしても、cinderellaは図形の不思議な性質を次々と教えてくれます。証明をきちんと行って裏づけを取らなければいけませんね。

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