シムソンの定理とは

シムソンの定理という有名な定理があります。とても、シンプルで分かりやすく、明快で、興味深い定理です。そして、この定理には数多くの拡張があり、初等幾何学の他の有名な定理や性質ともいろいろな形で関わりあっています。シンプルではあるけれど、とても奥の深い定理だと思います。
定理(シムソン) 僊BCとその外接円上に点Pがあるとする。点Pから直線BC,CA、ABへ下ろした垂線の足を点D,E,Fとすると、3点D,E,Fは同一直線上にある。この直線を「点Pの僊BCに対するシムソン線」という。

図1にcinderellaの図を示しました。内部をオレンジ色に塗られた僊BCとその外接円(水色)上の点Pが与えられています。点Pからオレンジ色の細い直線BC,CA,ABへ垂線(紫色の細い線)を下ろし、その足をD,E,Fとしました。この3点D,E,Fが太いえんじ色の直線上に並んでいますね。

僊BCの頂点A,B,C、そして外接円上の点Pのどれかを左クリックしながらドラッグすると点が移動します。3点D,E,Fが常に太いえんじ色の直線上に並んでいることを確認できます。

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図1

図1の点Pをマウスで動かしてみると、外接円に沿って移動します。点Pを外接円に沿って時計方向(反時計方向)に回転すると、シムソン線(えんじ色の線)は反時計方向(時計方向)に回転します。面白い動き方に感じました。

冒頭に述べたように、「シムソンの定理」にはいろいろな拡張や性質がたくさん隠れているのですが、全部は紹介しきれないと思います。気が向いたら少しづつ、その一部でも紹介するつもりです。

追記

点Pが外接円上を動くとき、シムソン線の包絡線は、なんとデルトイド曲線になることを最近知りました。すなわち、シムソン線は常に1つのデルトイド曲線に接するような動きかたをするのです。

ちなみに、デルトイド曲線とは定円の内側を大きさ1/3(または2/3)の円が滑らずに転がるときの円上に固定された点の軌跡のことです。

点Pを左クリックしながらドラッグすると、外接円上を動きます。このとき、シムソン線がデルトイド曲線に接しながら回転する様が観察できます。ちなみに、中央の黄色の円は凾`BCの九点円です。デルトイド曲線は九点円と接することも最近知りました。頂点A,B,Cもマウスで動かせるので、三角形の形を変形して調べてみて下さい。驚くことに、三角形の形状に関係なくシムソン線は正確にデルトイド曲線に接するのです。

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さらに、外接円と三角形の垂心を固定した状態で、凾`BCを回転させると、外接円上の固定点Pと凾`BCで決まるシムソン線は常にある定点Qを通るように回転します。ここで、点Qは、点Pと凾`BCの垂心の中点になります。(しかも、この点は凾`BCの九点円上です。)

ただし、下図では、三角形の頂点のうち、点Aのみ外接円上を動かすことができます。点Aを左クリックしながらドラッグしてみてください。小豆色のシムソン線が定点Qの周りを回転しますよね。他に、垂心H、外接円の半径、点Pを同様にマウスで移動、変更できます。初期設定を変えて試してもシムソン線は定点Qを通ります。

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