シュタイナー線とは

有名なシムソンの定理を「シムソンの定理とは」において紹介しました。今回の記事では、このシムソン線と関連性の強いシュタイナー線について説明しましょう。

定理(シュタイナー) 円に内接する僊BCと円周上の点Pがあるとする。点Pの直線BC,CA,ABに関する線対称な点をRa,Rb,Rcとおくと、これら3点は同一直線上にある。この直線を点Pの僊BCに対する”シュタイナー線”という。僊BCのシュタイナー線は、点Pの位置に関わらず、常に僊BCの垂心を通る。

3点Ra,Rb,Rcが同一直線上にあることは、シムソンの定理より明らかです(「シムソンの定理とは」を参照のこと)。なぜなら、点Pについて、シムソン線を2倍に拡大移動させることにより、シュタイナー線が定義できるからです。このことは、下に示している図1をご覧になると一層納得できます。この定理の本質は、シュタイナー線が三角形の垂心を通る、という部分にあります。

図1に僊BCとその外接円上の点Pにより定まるシムソン線(えんじ色)とシュタイナー線(紫色)を示しました。点Pを中心にシムソン線を2倍に拡大するとシュタイナー線になります。点Pを左クリックしながらドラッグすると動かせます。点Pの位置によらず、シュタイナー線は僊BCの垂心Hを通っていることを観察して下さい。また、点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグすると、僊BCを変形できます。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図1

次回は、シュタイナー線とシムソン線について、私が個人的に興味をもっている性質を「三角形の傍接放物線」において紹介します。

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