等角共役点の定義

私のお気に入りの概念である有名な「等角共役点」について紹介します。等角共役点を通して、垂心、外心の関係の理解が深まったり、「九点円」や「シムソン線」「シュタイナー線」などの他の幾何学的概念の意外な関係が分かったりします。「等角共役点」の性質や関連事項もとても多いので、順に少しづつ紹介してゆきます。
定義(等角共役点)僊BCの∠A、∠B、∠Cの内角の2等分線をそれぞれa,b,cとおく。僊BCと、任意の点Pに対して、直線APの直線aに関する線対称な直線、直線BPの直線bに関する線対称な直線、直線CPの直線cに関する線対称な直線、合計3つの直線はちょうど一点で交わる。このとき3直線の交点を点Pに対する等角共役点という。

定義から明らかなように、僊BCのある点Pに対する等角共役点を点Qとすると、点Qに対する等角共役点は、元の点Pになります。

また、定義の中の「3つの直線がちょうど一点で交わる」という性質は証明を必要とします。詳しくは述べませんが、これはチェバの定理により証明できます。

次の図1に等角共役点を説明する図を示しました。僊BCの内部に水色の大きめの点Pがあります。青色の細い直線AP,BP,CPの、それぞれ∠A、∠B、∠Cの内角の2等分線(暗い緑の線)による線対称な直線をオレンジ色の細い直線で示しています。これら3つの直線は定義で述べている通り一点で交わります。このときの交点Q(緑色の大きめの点)が、点Pの”等角共役点”になります。

図1の点Pを左クリックしながらドラッグすると、点Pとともに点Qも移動します。この互いに等角共役な2点がどのような位置関係にあるかを観察できます。また、僊BCの頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグして移動させることもできます。異なる形状の三角形にしてから、等角共役な2点の動きを観察しても面白いでしょう。

特に、点Pを僊BCの辺に近づけると、点Qは頂点に近づき、点Pを頂点に近づけると、点Qは辺に近づきます。そして、点Pが僊BCの外部に出た瞬間、点Qも外部に出て、点Pが僊BCの内部に入った瞬間、点Qも内部に入ります。2点は緊密に連携しながら微妙な位置を保っているようです。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図1

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