三角形の辺に接する二次曲線

等角共役点の著しい性質として、三角形の3辺に接する二次曲線についても触れなければなりません。「九点円(フォイエルバッハの円)(その5)」で紹介した、垂心と外心を焦点にもつ楕円や双曲線、シムソンの定理の項目で紹介した「三角形の傍接放物線」は、これから紹介する事実の特殊なケースに過ぎないことが分かります。一見無関係に思える図形的性質が、背後で深く結びついていることを知ると、感動しますよね。(数学ではよくあることですが)


まず、等角共役点の定義を復習しておきます。


定義(等角共役点)僊BCの∠A、∠B、∠Cの内角の2等分線をそれぞれa,b,cとおく。僊BCと、任意の点Pに対して、直線APの直線aに関する線対称な直線、直線BPの直線bに関する線対称な直線、直線CPの直線cに関する線対称な直線、合計3つの直線はちょうど一点で交わる。このとき3直線の交点を点Pに対する等角共役点という。

このとき、次の事実が成立します。


定理 三角形ABCについて互いに等角共役な2点が与えられているとき、その2点を焦点とし、凾`BCの3辺に内接する二次曲線が存在する。

下図が定理を説明する図です。凾`BCと互いに等角共役な2点PとQ、そして「等角共役点と6点円」で紹介した2種類の6点円を紫と緑で表現しています。さらに、上の定理で紹介している二次曲線が黄色の曲線です。このページの初期状態では楕円になっていると思いますが、黄色の楕円は、確かに、2点P,Qを焦点にもち凾`BCの3辺に接しています。(実は、紫の円にも接している。)


















上の図の点Pを左クリックしながらドラッグすると動かすことができます。点Pの移動とともに、等角共役点である点Qも連動して移動し、黄色の曲線も様々に形を変えていることが分かると思います。

実は、点Pと点Qの位置に応じて、黄色の曲線の種類は以下のように決まるのです。


互いに等角共役な点Pと点Qがともに三角形ABCの辺上にないものとする。このとき、(1)から(4)のどれかが成立する。

(1) 点Pと点Qの両方が凾`BCの内部にあるとき、二次曲線は楕円になる。

(2)点Pと点Qのうち一方が凾`BCの外部にあり、かつ外接円の内部にあるとき、もう一方は外接円の外部にある。このとき、二次曲線は双曲線になる。

(3)点Pと点Qのうち一方が凾`BCの外接円上(ただし頂点を除く)にあるとき、もう一方は無限遠点にある。このとき、二次曲線は放物線になる。

(4)点Pと点Qの両方が凾`BCの外接円の外部にあるとき、二次曲線は楕円になる。

文章で表そうとすると複雑で分かりにくいですが、マウスで図形をいじって変形しているうちに理解できると思います。

点Pを三角形の内部、三角形の外部、さらには外接円上、外接円の外部へと移動し、黄色の二次曲線が上の通り形を変えてゆく様子を調べてみて下さい。このとき、常に二次曲線は三角形の3辺に接する様子、紫の円(あるいは直線)にも接する様子も、併せて観察してみましょう。

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