等角共役点と6点円

等角共役点について触れなければならない性質の1つに、ある6点を通る円の存在があります。


本題に入る前に、等角共役点の定義を復習しましょう。


定義(等角共役点)僊BCの∠A、∠B、∠Cの内角の2等分線をそれぞれa,b,cとおく。僊BCと、任意の点Pに対して、直線APの直線aに関する線対称な直線、直線BPの直線bに関する線対称な直線、直線CPの直線cに関する線対称な直線、合計3つの直線はちょうど一点で交わる。このとき3直線の交点を点Pに対する等角共役点という。

このとき、次の事実が成り立ちます。


性質1
三角形ABCと、互いに等角共役な2点P,Qがあるとする。点Pから凾`BCの3辺へ下ろした垂線の足をP1,P2,P3とし、点Qから凾`BCの3辺へ下ろした垂線の足をQ1,Q2,Q3とすると、これらP1からQ3までの6点は、同一円周上に存在する。また、円の中心は、2点P,Qの中点である。

この状況をcinderellaで図にしてみました。互いに等角共役な2点P,Qからそれぞれ3辺へ下ろした垂線の足である6つの点(緑の点)が、確かに紫の円の上に並んでいますね。点Pを左クリックしながらドラッグして移動してみて下さい。点Pとともに、等角共役の関係を保つべく点Qも移動しますが、垂線の足6点は、常に紫の円の上に並びます。凾`BCの頂点も同様の方法で移動できるので、三角形の形を変形して試してみて下さい。

















Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

実は上の性質1と同じことなのですが、次のように表現することもできます。


性質2
三角形ABCと、互いに等角共役な2点P,Qがあるとする。さらに、点Pから凾`BCの3辺へ下ろした垂線の足をP1,P2,P3とし、点Qから凾`BCの3辺へ下ろした垂線の足をQ1,Q2,Q3とする。これら垂線の足である6つの点それぞれに対する点Pの点対称な点(合計6点)は、点Qを中心とする同一円周上に存在する。同様に、これら6つの点それぞれに対する点Qの点対称な点(合計6点)は、点Pを中心とする同一円周上に存在する。

cinderellaで作成した下図では、点Pの点対称な6点の円のみを図示しました。文章では分かりにくいので、下の図を参考にすると、少し分かり易いと思います。性質1の円を紫色で描き、性質2の円を緑で描いています。

















Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

三角形の点Pを左クリックしながらドラッグすることにより移動できます。互いに等角共役である点Qを連動して動きますが、性質1の6点は常に紫の円の上にあり、性質2の6円も常に緑の円の上に並んでいることが分かります。三角形の頂点A,B,Cも同じ方法で移動できるので、試してみて下さい。

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