2種類の6点円の意外な関係

前回の「等角共役点と6点円」で紹介した6点を通る2種類の円について、もっと深く調べてみましょう。


等角共役点が垂心と外心の場合


等角共役点と5心の関係」で説明した通り、垂心と外心は互いに等角共役な関係にありました。それでは、等角共役な2点P,Qを垂心と外心にとると、2種類の6点円は何を表すのか気になりませんか?


このことを、下に示した図を使って調べてみましょう。


等角共役点P,Qとそれらから定義される2種類の6点円を緑と紫で表しています。それに、外心Oと垂心H(ともに黄色の点)を図に加えています。

















Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

さて、点Pを左クリックしたままドラッグして動かしてみましょう。今回は、点Pを凾`BCの垂心Hへ移動してみて下さい。
すると、点Pの等角共役点Qも連動して動き、外心Oまで移動することが分かります。(垂心と外心は互いに等角共役なので当然ですね!)


ここで、2種類の6点円(緑と紫の円)に注目しましょう。このとき、2種類の円は、凾`BCの外接円と九点円になっているのです。


もっと注意深く観察すれば、「垂心と外接円の美しい関係」の(4)(5)(6)(7)の関係も図から自明であることが分かります。


等角共役点が内心と傍心の場合


今度は、点P,Qが三角形の内心、傍心の場合について、下の図を用いて調べてみましょう。
今回は、図に三角形の辺と内心(I)および傍心(I1,I2,I3)を黄色の点として加えています。















Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

まず、点Pを左クリックしながらドラッグして動かします。点Pを内心Iへ移動すると、点Qも同じ内心Iへ移動します。(内心の等角共役点は内心自身なので当然ですね。)
このとき、紫の円は内接円になることが確認できます。(緑の円は特に意味があるわけではないようです。)


次に、点Pを、傍心I1,I2,I3のいずれかの点へ移動してみましょう。やはり、点Qも同じ傍心へ移動し、紫の円は傍接円になることが確認できますね。


等角共役点が外接円上にある場合


最後に、等角共役点の一方が三角形ABCの外接円上にある場合を調べてみましょう。今度は下の図を使います。図に、三角形の外接円(青色の細い線)を加えています。

















Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

今回は、点Pを三角形の外接円上に移動してください。点Pの上で左クリックしながらドラッグすると動かすことができます。外接円上のうち頂点でなければ、どこに移動してもよいですよ。


すると、意外なことに2つの6点円(緑の円と紫の円)は直線になってしまうことに気づきます。また、点Qは図中にないことにも気づきますか?実は外接円上の点の等角共役点は、常に”無限遠点”にあるので、画面上には表示されません。


さらに、この6点円であった紫の直線と緑の直線には、幾何学的な意味があります。紫の直線は凾`BCのシムソン線に一致し、緑の直線は凾`BCのシュタイナー線に一致します。定義や基本的な性質については、ブログの記事「シムソンの定理とは」と「シュタイナー線とは」で確認することができます。


このように等角共役点の作る6点円は、外接円、九点円、内接円、傍接円、シムソン線、シュタイナー線に関連しているのです。

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