ミケル点とは

今回のテーマは、ミケル点です。なかなか美しく、印象深い点です。


まず、「完全四辺形」という重要な図形を定義しましょう。


どの2本も平行でなく、どの3本も共通の交点をもたない4本の異なる直線、および直線どうしの6個の交点からなる図形を完全四辺形という。さらに、その4本の直線を完全四辺形の辺、直線どうしの交点(合計6点)を完全四辺形の頂点という。

さて、ミケル点とは次の点のことです。


定理 完全四辺形4本の辺のうち、3つの辺から決まる三角形が4通り存在する。これら4つの三角形の外接円は、共通の交点をもち、その交点をミケル点という。

4つの三角形の外接円が共通の交点をもつことは証明が必要なことですが、ここでは下の図で確認するだけにします。


完全四辺形の頂点のうち、点A,B,C,D,Eの5点はマウスで動かせます(左クリックしながらドラッグ)。完全四辺形の形がどのように変形しようとも、4つの外接円は常に点Mで交わっています。

















Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

さらに、ミケル点と4つの外接円の中心(外心)の並びかたについて次の性質が知られています。


定理 完全四辺形4本の辺のうち、3つの辺から決まる三角形が4通り存在する。これら4つの三角形の外心とミケル点(計5つの点)は同一円周上に存在する。

これも下の図で確認できます。

















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