無限に続くミケル点とミケル円

完全四辺形から、「ミケル点」が決まり、これにもう一本直線を加え、5本の直線を考えることで決まる5個のミケル点が同一円周上に並ぶ。そして、これを「ミケル円」と呼ぶ。という話をしていました。(参照:ミケル点ミケル円

とすると、直線をさらに増やしていくとどうなるかが、気になるところ。

実際、驚くべき事実が知られています。次のクリフォードの定理です。

クリフォードの定理 どの2本も平行でなく、どの3本も共通の交点をもたないn本の異なる直線 l1,l2,...,lnがあるとする。
(1) n=4のとき、ミケル点が決まる。
(2) n=5のとき、任意の4本の直線から決まるミケル点(計5点)は同一円周上に存在する。これをミケル円という。
(3) n=6のとき、任意の5本の直線から決まるミケル円(計6円)は1点で交わる。これをn=6のミケル点という。
(4) n=7のとき、任意の6本の直線から決まるミケル点(計7点)は同一円周上に存在する。これをn=7のミケル円という。
(5) n=8のとき、任意の7本の直線から決まるミケル円(計8円)は1点で交わる。これをn=8のミケル点という。
・・・
以下、このように、奇数本の直線からミケル円が決まり、偶数本の直線からミケル点が決まる。
無限に続くヒエラルキー・・・。言葉を失ってしまいます。例によって、cinderellaで作図してみました。
最初の図は、n=5の場合ですが、既に「ミケル円」において載せたものと同じような図です。n=4におけるミケル点(黄色の5個の点)が黄色の円周上(n=5におけるミケル円)にきれいに並んでいます。点a12,a23,a34,a45,a15を左クリックしながらドラッグすると、図形が変形します。 Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。 次にn=6とn=7の場合の図です。n=5のミケル円(黄色の円)が水色の点で交わっていますが、これがn=6におけるミケル点になります。そして、水色のミケル点(計7点)が水色の円周(n=7のミケル円)上に並んでいます。やはり、点a12,a23,a34,a45,a67,a17を左クリックしながらドラッグすると、図形が変形します。 Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。 最後に、n=8とn=9の図も作ってみました。一段と複雑になり、何がなんだか分からない図になってしまいました。n=8のミケル点を紫の点で表し、n=9のミケル円を紫の円で表しています。 Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。
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