九点円(フォイエルバッハの円)(その1)

三角形に対して定まる特別な9個の点が同一円周上に並んでしまう、という定理があります。こんなに多くの点がきれいに円をなして並んでしまうところに奇跡を感じてしまうのは私だけでしょうか。

定理 三角形ABCについて、三辺BC,CA,ABの中点をL,M,N、頂点A,B,Cそれぞれから垂線を下ろし、その足をD,E,F、垂心Hと頂点A,B,Cそれぞれとの中点をP,Q,Rとおくと、9点L,M,N,D,E,F,P,Q,Rは同一円周上に位置する。

作図ソフト「cinderella」を用いて次の図を作りました。

頂点A,B,Cからそれぞれの対辺へ垂線(青色の線)を引き、その足をE,F,G、垂心(青色の点)と頂点A,B,Cそれぞれとの中点をP、Q,R、辺BC,CA,ABの中点をL,M,Nとすると、点D,E,F,L,M,N,P,Q,R(えんじ色の9個の点)は全てえんじ色の円周に乗っています。このえんじ色の円が九点円です。見事に9個の点は円周をなして並んでいます。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図の頂点A,B,Cを、マウスで左クリックしたままドラッグすることにより動かしてみることができます。三角形の頂点が移動するに従い、各点も動きますが、9個の点は常に九点円(えんじ色の円)上にいますね。感動してしまいます!

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