九点円(フォイエルバッハの円)(その3)

「9点円」「オイラー線」についてのちょっとした関係を紹介しましょう。9点円の中心がオイラー線上に存在すること、さらに、9点円の半径が外接円の半径のちょうど半分であることが証明できます。「九点円(その2)」で内接円、傍接円との関係を紹介しましたが、この定理により外接円、外心、重心にも関わっていることが分かるのです。

定理 三角形ABCの9点円は、外心と垂心の中点を中心にもち、その半径は三角形ABCの外接円の半径の半分である。

上の定理と「オイラー線」の定理から、外心、重心、9点円の中心、垂心の4点がオイラー線上に存在することになります。作図ソフト「cinderella」を用いて次の図を作りました。9点円とその中心をえんじ色で示しています。外心(O)、重心(G)、9点円の中心(S)、垂心(H)の4点がオイラー線(ピンク色の線)上に並んでいることと、9点円の大きさが外接円(黄色の円)の半分であることも確認できますね。


Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。


図の頂点A,B,Cを、マウスで左クリックしたままドラッグすることにより動かしてみることができます。三角形の頂点が移動するに従い、9点円(えんじ色の円)は常に内接円(紫色の円)、傍接円(オレンジ色の円)に接しながらも、その中心は、オイラー線上の外心、重心、垂心、と一定の位置関係を保ちながら動きます。複雑すぎて分かりにくいですが、よくできていますね。完璧に調和しています。

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