九点円(フォイエルバッハの円)(その4)

9点円の性質の第4弾として、三角形の3つの頂点と垂心の間の不思議な対称性を紹介しましょう。凾`BC,凾aCH,凾bAH,凾`BHは同じ9点円をもつという性質があります。9点円の定義からほとんど自明ではありますが、不思議な性質に感じます。下の「cinderella」の図を動かすとその不思議さがもっと実感できると思います。

定理 三角形ABCの垂心をHとする。このとき、
(1) 凾`BHの垂心は点C、凾aCHの垂心は点A、凾bAHの垂心は点Bである。
(2) 凾`BC、凾aCH、凾bAH、凾`BHの9点円を定義する9つの点は集合として一致し、したがって9点円も同一である。 

下の「cinderella」の図を動かすとはっきり分かりますが、4つの三角形の9点円が同じだけでなく、9点円を定義する9つの点(各辺の中点、各頂点から対辺へ下ろした垂線の足、頂点と垂心の中点)も(集合として)同じになってしまいます。さらに、「九点円(その3)」で紹介した「9点円の半径が外接円の半径の半分」という性質から、凾`BC,凾`BH,凾aCH,凾bAHの外接円がすべて同じ半径をもつことも分かります。文章よりも図形を見たり操作した方が理解しやすいと思うので、さっそく、下の図の頂点をドラッグしてみましょう。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

上の図は、固定された三角形ABCとその垂心Hとその9点円(えんじ色の円)、そして、マウスでドラッグできる可動の凾`'B'C'とその垂心H'とその9点円(青色の円)が重なった状態で図示されています。

初め凾`'B'C'と凾`BCは重なっているので、2つの9点円(えんじ色の円と青色の円)も重なっています。次に頂点A'を左クリックしながらドラッグして下の三角形の頂点Hの位置まで移動してみましょう。すると、上の三角形の垂心H'は頂点Aの位置に戻り、上下の2つの三角形の9点円、および9点円を定義する9つの点も上下でぴったり重なることが確かめられます。

再び頂点A'を点Aの位置に戻し、頂点B'を点Hの位置まで,あるいは頂点C'を点Hの位置まで動かしてみましょう。先ほどと同様、上の三角形の垂心H'は頂点B,あるいは頂点Cに移動し、9点円、および9点円を定義する9つの点も上下でぴったり重なります。

このことから、凾`BC,凾aCH,凾bAH,凾`BHの4つの三角形について、頂点、垂心、9点円、9点円を定義する9つの点は同じ図形を描くことが分かります。やはり不思議に感じてしまいます。

さて、「九点円(フォイエルバッハの円)(その2)」で紹介した「フォイエルバッハの定理」を覚えていますか。

定理(フォイエルバッハ) 三角形ABCの九点円は、三角形ABCの内接円、および3つの傍接円(合計4つの円)に接する。

この定理と上の定理(2)を合わせると驚きの事実に気づきます。すなわち、

定理 三角形ABCの垂心をHとする。このとき、
凾`BCの九点円は、凾`BC、凾`BH、凾aCH、凾bAHそれぞれの内接円、および3つの傍接円(な、な、なんと16個の円全て!)に接する。

ちと、私には複雑すぎて状況が把握できませんし、イメージもできません。そこで、作図ソフト「cinderella」で図を作ってみました。結構手間がかかったんですよ。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

衝撃の映像です。凾`BCを青色で描き、その九点円をえんじ色、垂線を緑で表しています。凾`BC,凾`BH,凾aCH,凾bAHの内接円、傍接円たち(全てオレンジ色で表現)がえんじ色の九点円に接している様子です。

頂点A,B,Cのどれかの点を左クリックしたまま、ドラッグすると、図形を変形できます。常に九点円はたくさんのオレンジ色の内接円、傍接円に接しているようです。

正直言って、複雑すぎて気持ち悪いです。

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