九点円(フォイエルバッハの円)(その5)

九点円は2次曲線とも関わっていることを以下の定理で紹介します。何と、垂心と外心を焦点にもち、しかも三角形にも9点円にも接する2次曲線が存在するというのだから、驚きます。

定理 直角三角形でない凾`BCの垂心をH、外心をOとする。このとき、HとOを焦点とし凾`BCの3辺と接する2次曲線が存在し、しかもこの2次曲線はその頂点で9点円とも接する。さらに、垂心と外心がともに凾`BCの内部にあるとき2次曲線は楕円になり、垂心と外心がともに凾`BCの外部にあるとき2次曲線は双曲線になる。

以下の図は「cinderella」で作成しました。オレンジ色の楕円が三角形の辺とえんじ色の9点円の両方に接しています。この図をみると、楕円の焦点をなす外心Oと垂心Hがきれいに対称的に位置している様子が分かります。外心と垂心の間には一種の対称性(等角共役点)があるのです。外心と垂心の定義はまるで違うので、初めて知ったときは驚きました。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

三角形ABCの頂点のどれかを左クリックしたままドラッグして移動させてみましょう。内接する楕円は形や位置を変化させますが、つねに三角形と9点円に接しています。

さらにドラッグを続けて、頂点を垂心に近づけ、そして垂心を三角形の外部に出してみましょう。すると外心は辺の中点に近づき、同じタイミングで三角形の外部に出てしまいます。垂心が頂点に近づくとともにオレンジ色の楕円はだんだん潰れたようになり、垂心、外心が三角形の外部に出ると同時に、オレンジ色の曲線は楕円から双曲線に変化してしまうことも確認できます。

このとき、垂心と外心はきれいに双曲線の焦点をなし、依然として双曲線は三角形の辺と9点円に接しながら変化している様子が確認できます。

あら不思議!

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