垂線の不思議(その1)

垂心を「cinderella」で作図して、その後垂線を何本か引いてゆくと同一円周上に並ぶ4点以上の点や、何組かの平行な直線、1点で交わる3つ以上の直線や円などが見つかります。幾つかはほとんど自明ですが、私自身、まだ証明を確認していなものもあります。とりあえず、これら見つかった性質を以後4回に分けて報告しようと思います。

下の図1−1は「cinderella」で作成しました。以後、「垂線の不思議」シリーズでは一貫してこの図1−1をテーマに不思議を探求してゆきます。

まず、頂点A,B,Cから対辺へ垂線を下ろし、その足をD,E,Fとします。3つの垂線の交点を垂心といいます。垂線の足Dから辺CA,ABへ垂線を下ろしその足をP,Q、垂線の足Eから辺AB,BCへ垂線を下ろしその足をR,S、垂線の足Fから辺BC、CAへ垂線を下ろしその足をT,Uとおきます。さらに、直線FUと直線ERの交点をL、直線FTと直線DQの交点をM、直線DPと直線ESの交点をNとおきます。

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図1−1

図1−1にはいたるところに垂直が隠れているので(隠れてはいなか)、共円条件(同一円周上に点が並ぶ条件)を満たす4点がたくさん見つかります。中学で習う共円条件に

相対する角の和が180度四角形は円に内接する。

というのがあります。したがって、もし四角形の向かい合2角がともに直角であれば、四角形の4つの頂点は同一円周上にあることになります。そのような四角形、すなわち4点の組がたくさんみつかります。

(1) 4点A,R,L,Uは同一円周上にある。
(2) 4点B,T,M,Qは同一円周上にある。
(3) 4点C,P,N,Sは同一円周上にある。

これらを下の「cinderella」の図1−2で緑色の円として描きました。他に、

(4) 4点A,Q,D,Pは同一円周上にある。
(5) 4点B,S,E,Qは同一円周上にある。
(6) 4点C,D,F,Tは同一円周上にある。

これを図1−2で茶色で描きました。また、三角形ABCの頂点と垂心Hと垂心Hから三角形の辺へ下ろした垂線の足を頂点とする3つの四角形も共円条件を満たします。

(7) 4点A,F,H,Eは同一円周上にある。
(8) 4点B,D,H,Fは同一円周上にある。
(9) 4点C,E,H,Dは同一円周上にある。

これを黄色で描きました。この図1−2は頂点A,B,Cのどれかをマウスで左クリックしながらドラッグすると、頂点が移動し図を変形することができます。図の変形に伴い円周も変化しますが、どの円周も変わらず同じ4点を通りながら変形することを確認してください。

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図1−2

見落としがちですが、三角形ABCの頂点を含まないが、向かい合う角が直角の四角形があります。すなわち、

(10) 4点R,F,E,Uは同一円周上にある。
(11) 4点T,D,F,Qは同一円周上にある。
(12) 4点P,E,D,Sは同一円周上にある。

図が複雑になってしまったので、改めて下の図1−3に赤色の円で表しています。マウスで、頂点A,B,Cを動かして確認してください。

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図1−3

共円条件を満たす4点はまだあります。上の例ほど自明ではなく、証明の必要がありますが、それほど難しくありません。

(13) 4点A,U,T,Bは同一円周上にある。
(14) 4点B,Q,P,Cは同一円周上にある。
(15) 4点C,S,R,Aは同一円周上にある。

例えば、4点A,Q,D,Pが同一円周上にあることから、4点B,Q,P,Cの共円条件が証明できます。この3つの円を下の「cinderella」の図1−4に、オレンジ色の円で表しています。

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図1−4

ここまでで、15組の同一円周上にある4点の組を見つけました。ぜひ、それぞれの図の頂点A,B,Cをマウスでコントロールして、円をなして並ぶ15組の4点の不思議を体験してください。

ところで、このような共円条件を満たす4点の組はまだ存在するのでしょうか?皆さんも考えてください。とりあえず、長くなったので、続きを次回にまわします。

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