垂線の不思議(その2)

「垂線の不思議(その1)」では、頂点から辺へ3本の垂線を下ろし、その足からさらに合計6本の垂線を引いた図形を考察し、15組の同一円周上に並ぶ4点を見つけました。そして、最後に「まだ、存在するのでしょうか?」という問いで閉めてしまいました。その答えは

まだ、ある!!

です。何と同一円周上に並ぶ6点が存在するというのです。この6点を含む円のことを「Taylor(テイラー)円」といいます。以下に、定理をまとめましう。

定理 三角形の頂点A,B,Cから対辺へ垂線を下ろし、その足をD,E,Fとする。さらに、点Dから辺CA,辺ABへ下ろした垂線の足をP,Q、点Eから辺AB,辺BCへ下ろした垂線の足をR,S、点Fから辺BC,辺CAへ下ろした垂線の足をT,Uとおく。このとき、6点P,Q,R,S,T,Uは同一円周上に存在する。

下のcinderellaで作成した図2−1の頂点A,B,Cのどれかを、マウスで左クリックしながらドラッグして動かすことができます。図が変形しても、6点P,Q,R,S,Tは常に円をしてきれいに整列しています。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図2−1

以外なところに、円が隠れていましたね。そして、結局「垂直の不思議(その1)」で提示した図から、合計16個の円が見つかったわけです。それにしても、最後の16番目の円はなかなか格好いいです。6点がきれいに円をなして並ぶのですから。「テイラー円」のことを「6点円」と呼ぶこともあるようです。
三角形に9本の垂線を引いたら、16個の円が現れました。垂直と円は相性がいいのでしょうか?

私は「結構、不思議!!」と感動しています。皆さんはどうですか?しかし、まだ終わりではありません。次回は、再び「垂線の不思議(その1)」で提示した垂線の図に戻って考察し、隠れている平行な直線の組を見出してゆきます。

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