外心と垂心に隠れている合同または相似な三角形

外心と垂心の定義は全く異なるものですが(「三角形の五心の定義」参照)、それぞれいくつかの合同な三角形、あるいは相似な三角形が隠れています。そこで、外心と垂心の図に隠れている合同な三角形、相似な三角形を「cinderella」で作図しました。マウスで図形を動かしてみると、その様子がよく分かると思います。

1.外心に隠れている合同な三角形

下図(図1)に凾`BCとその外接円と外心を図示しました。三角形ABCの外心とは、凾`BCの外接円(緑色の円)の中心でした。外心の定義「3つ辺の垂直2等分線の交点」により、外心Oから3辺へ垂線(青色の線)を下ろし、その足を図のようにD,E,Fとおくと、次の合同な三角形が見つかります。

僊OF≡傳OF,傳OD≡僂OD,凾bOE≡凾`OE

外心の定義により、D,E,Fは辺の中点であったことと、外心が外接円の中心であること、すなわち、OA=OB=OCであることから、これらの合同が証明できます。

下図に示されている通り、合同な三角形の内部を同じ色で塗っています。図の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができるので、同色の三角形どうしがいつも合同に変形されていることを確認してみて下さい。

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図1

2.垂心に隠れている相似な三角形

下図(図2)に凾`BCとその垂心Hを図示しました。垂心の定義「頂点から対辺へ下ろした垂線の交点」により、頂点A,B,Cからそれぞれの対辺へ垂線(青色の線)を下ろし、その足を図のようにD,E,Fとおくと、次の相似な三角形が見つかります

僊HE∽傳HD,傳HF∽僂HE、僂HD∽僊HF

(図形の相似を記号∽で表現しています。)例えば「凾`HE∽凾aHD」を示す場合、垂心の定義により明らかな性質「∠AEH=∠BDH=90°」と、対頂角の性質による「∠AHE=∠BHD」により、凾`HEと凾aHDの等しい2角を見つければよいでしょう。他の場合も同様です。

また、相似の三角形が見つかると、辺の比が等しいことにから線分の長さに関する関係式を見出すこともできます。上の相似から次のような等式が得られます。(ただし、式の中の「AH・HD」はAHの長さとHDの長さの積を表します。)

AH・HD=BH・HE=CH・HF

図示されている通り、相似な三角形の内部を同じ色で塗っています。図の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができるので、同色の三角形どうしがいつも相似の関係を保ちながら変形されていることを確認してみて下さい。

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図2

実は、注意深く垂心の図を観察すると、さらに相似な三角形が隠れていることが分かります。

(1) 僊HE∽僊CD∽傳HD∽傳CE
(2) 傳HF∽傳AE∽僂HE∽僂AF
(3) 僂HD∽僂BF∽僊HF∽僊BD

これらの証明も、三角形の等しい2角を探すことになります。登場する三角形は全て直角三角形なので、直角以外の等しい角を1つ見つければ十分ですね。

また、三角形の相似性から、次の辺の長さの等式が得られます。

(1) AE・AC=AH・AD=AF・AB
(2) BF・BA=BH・BE=BD・BC
(3) CD・CB=CH・CF=CE・CA

他に、4つの点が共通の円周上にあること(共円条件)を示し、方べきの定理をもちいて上の等式や、三角形の相似を示すこともできます。

下にcinderellaで作図した図(図3)を示します。4つの三角形は同じ三角形ABCを表現しており、下の3つの三角形はサイズを1/2に縮小しています。図示されている通り、相似な三角形の内部を同じ色で塗っています。上の三角形の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると上下4つの三角形が同時に動きます。同色の三角形どうしがいつも相似に変形されていることを確認してみて下さい。

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図3

3.垂心と外心に隠れている相似な三角形

ここまで、外心と垂心を分けて図に隠れている合同あるいは相似な三角形を紹介しましたが、外心の図の中の直角三角形、そして垂心の図の中の直角三角形は互いに相似でもあります。

詳しい証明は述べませんが、どの場合も、三角形の2角のうち1つは直角、もう1つは三角形ABCの頂点の角の1つに等しいことが分かり、相似の証明ができます。

この状況を説明するcinderellaの図を図4に示しました。左に外心の図、右に垂心の図がありまずが、2つは同一の三角形ABCについての外心と垂心を表しています。三角形の中の直角三角形の内部は、水色、ピンク色、緑色の3色のどれかで塗られていますが、互いに相似な三角形を図の中で同色の三角形で表現しています。左の三角形の頂点A,B,Cのどれかをマウスで左クリックしたままドラッグすると、両方の図が連動して動きます。そして、同色の三角形が互いに相似の関係を保ちながら変形する様子を観察してみてください。

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図4

ここまで、外心の図、垂心の図、あるいはその両方にまたがって存在している合同な三角形、相似な三角形を紹介しました。これらの関係は、センター試験を始めとする大学入試問題においても重要で、辺の長さや角を求めたりする場合に必要な知識です。図の中に隠れる相似や合同な関係に敏感になると、平面図形の問題に強くなれます。ぜひ、参考にして下さい。

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