内心と傍心に隠れている合同または相似な三角形

内心と傍心の定義はとても似ていますね(「三角形の五心の定義」を参照)。予想通りある種の対称性があり、合同な三角形、あるいは相似三角形が見つかります。ここでは、内心、傍心の図に隠れている合同な三角形、あるいは相似な三角形について紹介しましょう。

1.内心に隠れている合同な三角形

下図(図1)に凾`BCとその内接円と内心Iを図示しました。三角形ABCの内心とは、凾`BCの内接円(緑色の円)の中心でした。内心の定義「3つの頂点の内角の2等分線の交点」により、内心Iと頂点A,B,Cを結ぶ直線(青色の線)を引き、内心Iから三辺へ垂線(青色の線)を下ろし、その足をD,E,Fとおくと、次の合同な三角形が見つかります。(D,E,Fは内接円と三角形の辺との接点でもあります。)

僊IF≡僊IE,傳ID≡傳IF,凾bIE≡僂ID

内心の定義により、∠FAI=∠EAI,∠DBI=∠FBI,∠ECI=∠DCIであることと、ID⊥BC,IE⊥CA,IF⊥ABにより、これらの直角三角形の合同が証明できます。

図示されている通り、合同な三角形の内部を同じ色で塗っています。図の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができるので、同色の三角形どうしがいつも合同に変形されていることを確認してみて下さい。

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図1

2.傍心に隠れている合同または相似な三角形

下図(図2)に凾`BCとその3つの傍接円と3つの傍心I_A,I_B,I_Cを図示しました。傍心の定義「3つの頂点のうち、2頂点の外角の2等分線と残りの頂点の内角の2等分線の交点」により、3つの傍心と頂点A,B,Cを結ぶ直線(赤色の線)を引き、傍心から三辺へ垂線(青色の線)を下ろし、その足を図のようにL,M,N,P,Q,R,S,T,Uとおくと、次の合同または相似な三角形が見つかります。

(1) 傳NI_A≡傳LI_A∽傳SI_C≡傳UI_C
(2) 僊TI_C≡僊UI_C∽僊RI_B≡僊QI_A
(3) 僂PI_B≡僂QI_B∽僂MI_A≡僂LI_A

証明は内心とほとんど同様なので省略します。

図示されている通り、合同あるいは相似な三角形の内部を同じ色で塗っています。図の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができるので、同色の三角形どうしがいつも合同または相似に変形されていることを確認してみて下さい。

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図2

3.内心と傍心に隠れている相似な三角形

実は上に示した内心と傍心の図に表されている同色の三角形どうしも互いに相似になることが容易に分かります。内心の図(図1)と傍心の図(図2)を合わせて図3に示しました。図3の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができるので同色の三角形どうしがいつも相似に変形されていることを確認してみて下さい。

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図3

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