内心、傍心と外接円の美しい関係(1)

今回は、内心、傍心と外接円を描いたときにできる面白い関係を紹介します。

三角形ABCの内心をI、傍心をIA,IB,ICとおきます。(ただし、直線AI上の傍心をIA直線BI上の傍心をIB,直線CI上の傍心をICとします。)さらに、直線I IA,直線I IB,直線I ICと外接円との交点をそれぞれP,Q,Rとすると、次の事実が成り立ちます。cinderellaで生成した次の図1をご覧になると、分かりやすいでしょう。(九点円については、「九点円(その1)」参照のこと)

(1) 僮AIBICの垂心は僊BCの内心Iである。
(2) 僊BCの外接円は、僮AIBICの九点円である。

(証明) 図1をご覧になると証明を追いやすいと思います。
(1)例えば、直線I ICと直線IAIBが垂直関係にあることを証明しましょう。直線I ICが頂角Cの内角の2等分線であることから、∠ICB=∠ICAです。また、直線IAIBが頂角Cの外角の2等分線であることから、∠BCIA=∠ACIBです。ところが、この4つの角の和は180°であるから、∠ICIA=∠BCIA+∠ICB=180°÷2=90°となります。同様に、直線I IBと直線ICIAの垂直関係及び、直線I IAと直線IBICの垂直関係も証明できるので、内心Iは僮AIBICの垂心です。
(2) 点A,B,Cは僮AIBICの各頂点から対辺へ下ろした垂線の足であるから、これらの3点を通る唯一の円である凾`BCの外接円は僮AIBICの九点円となります。(証明終)

次の図1をcinderellaで作成しました。僊BC(内部が緑色の三角形)、内接円、傍接円(濃い緑の円)、それらの中心である内心I、傍心IA,IB,IC(図の中ではI_A,I_B,I_Cで表記)を図示し、傍心を頂点とする三角形IAIBIC(傍心三角形という)の内部をピンク色で塗りました。このとき、僊BCの外接円(黄緑色の円)が傍心三角形IAIBICの九点円となります。また、三角形ABCの各頂点の内角、外角の2等分線(オレンジ色の線)は、僮AIBICの頂点から対辺への垂線でもあり、これらの交点は僊BCの内心または傍心でもあります。

図1の点A,B,C(内部が緑色の三角形の頂点)のどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができます。性質(1)(2)を確認してみて下さい。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図1

さらに、九点円の定義を思い出せば、次の事実も証明できます。図2をご覧になりながら題意を把握してみて下さい。

(3) 僊BCの外接円は、線分IAIB、線分IBIC、線分ICIAそれぞれの中点(図2のL,M,N)を通る。
(4) 僊BCの外接円は、線分I IA、線分I IB、線分I ICそれぞれの中点(図2のD,E,F)を通る。
(5) 4点の組B,I,C,IA、C,I,A,IB、A,I,B,ICはそれぞれ同一円周上(水色の円)にあり、その中心はそれぞれ線分I IA、線分I IB、線分I ICの中点(図2のD,E,F)である。

(証明) 図2をご覧にると、証明を追いやすいと思います。
(3) 三角形の九点円は、3辺の中点をも通ること(九点円の定義)から、明らかです。
(4) 三角形の九点円は、その垂心と3つの頂点それぞれとの中点をも通ること(九点円の定義)から、明らかです。
(5) 4点の組B,I,C,IAが同一円周上にあり、その中心が点Dにあることのみ示します(他は同様)。(1)の証明により、点B,Cは僮AIBICの頂点IB,ICからそれぞれの対辺へ下ろした垂線の足であるから、∠IBIA=∠ICIA=90°が分かります。したがって、4点の組B,I,C,IAは同一円周上にあり、線分I IAは円の直径です。また(4)の結論から、点Dは内心Iと傍心IAの中点であること、すなわち、四角形BICIAの外接円の中心であることが示されます。(証明終)

次の図2はcinderellaで作成しました。最初の図1の僊BCとその外接円、内心I、傍心IA、IB、IC、僮AIBIC、に加え、傍心IA、IB、ICのそれぞれの間の中点L,M,Nおよび、内心Iと頂点A,B,Cのどれかを両端にもつ線分それぞれの中点D,E,F(これらは線分と外接円との交点でもあります。)を図示しています。さらに、四角形BICIA、四角形CIAIB、四角形AIBICそれぞれの外接円(水色の円)も加えました。

図2の点A,B,C(内部が緑色の三角形の頂点)のどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができます。性質(3)(4)(5)を確認してみて下さい。

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図2

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