内心、傍心と外接円の美しい関係(2)

内心、傍心と外接円から派生する相似な三角形について紹介しましょう。

内心、傍心と外接円の美しい関係(1)」で、凾`BCの内心が、傍心三角形(傍心を頂する三角形)の垂心であることを紹介しましたが、これにより新たに、相似な三角形を多数見つけることができます。(「外心と垂心に隠れている合同または相似な三角形」参照)

僊BCの内心をI、傍心をIA、IB、ICとおき、内心Iから辺BC,CA,ABへ下ろした垂線の足をそれぞれS,T,Uとします。すると、元の三角形(僊BC)と傍心三角形(僮AIBIC)の内部の三角形について、次のような相似な三角形が見つかります。図1をご覧になると状況が把握しやすいでしょう。右下の僊BCは左上の僊BCの内部を見やすく合同に書き直したものです。右下の僊BCがそのまま左上の僊BCの内部に納まっているものと解釈してご覧になって下さい。

(1) 僮CIB∽僮BIC∽僮TA≡僮UA
(2) 僮AIC∽僮CIA∽僮UB≡僮SB
(3) 僮BIA∽僮AIB∽僮SC≡僮TC

(証明) 他も同様なので、(1)のみを証明しましょう。といっても、内心Iが傍心三角形の垂心でもあることから、前半「僮CIB∽僮BIC」は「外心と垂心に隠れている合同または相似な三角形」で紹介した通り、垂心の性質からほぼ自明です。後半「僮TA≡僮UA」も「内心と傍心に隠れている合同または相似な三角形」で既に説明しています。ここでは、「僮BIC∽僮TAのみ証明すればよいことになります。しかも、どちらも直角三角形であるから、結局、残りの角の1つ「∠ICIB=∠AIT」の証明に帰着してしまいました。
ところが、僮BCの内角、外角の関係を考え、直線IC、直線IBが、それぞれ僊BCの内角∠C,∠Bを2等分することから、

∠ICIB=∠IBC+∠ICB =(∠B+∠C)/2=90-∠A/2

が分かります。さらに直線IAが僊BCの内角∠Aを2等分することから、

∠AIT=90-∠A/2

よって、「∠ICIB=∠AIT」が証明されました。(証明終)

図1の左上に、凾`BCとその内心、傍心、傍心三角形、内接円、傍接円を図示しています。凾`BCの内部の状況が見にくくなるので、右下に凾`BCを書き直しています。図1の左上の僊BCの頂点A,B,Cのどれかにカーソルを合わせ、左クリックしながらドラッグすると図形を変形できます。そして、それに合わせて右下の凾`BCも連動して合同に変形します。さらに、性質(1)(2)(3)で紹介した互いに相似または合同な三角形の内部を同じ色(ピンク色、水色、緑色)で塗りつぶしました。図の変形によって、同色の三角形の相似、合同関係が一貫して保たれていることを確認しておいて下さい。

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図1

次に別のタイプの相似または合同な三角形を紹介しましょう。

上の図1と同様に、凾`BCの内心、傍心、内接円(緑色の円)、傍接円(緑色の円)、外接円(黄色の円)を図示しています。「内心、傍心と外接円の美しい関係(1)」で、説明したとおり、凾`BCの外接円は、傍心三角形僮AIBICの九点円でもあることから、内心I、傍心IA、IB、ICの任意の2点の中点(点D,E,F,L,M,Nで表しています。)を通りました。さらに、内心Iから凾`BCの各辺への垂線の足S,T,Uも図に加えています。図2には、これらの点を頂点とする三角形(儡TU,僖EF,儉MN,僮AIBIC)の内部を塗りつぶしていますが、これらの4つの三角形は合同あるいは相似であることが分かります。(今回は同じ色で塗りつぶすと不明瞭になるため、敢えて異なる色で図示しています。)

儡TU∽僖EF≡儉MN∽僮AIBIC

(証明) 「僖EF≡儉MN∽僮AIBIC」の証明は、中点連結定理で証明できますが、細部は省略します。ここでは、「儡TU∽僮AIBIC」のみ示します。図2をご覧になりながら、証明を追ってみてください。
内心、傍心と外接円の美しい関係(1)」で述べた通り、「内心Iは傍心三角形僮AIBICの垂心」であるから、直線IBと直線ICIAは直交します。
一方、「円外の点から円へ引いた2接線の距離が等しい」という性質によりBS=BU、また、IS、IUはともに内接円の半径であるから、IS=IUです。したがって、直線IBは線分SUの垂直2等分線になります。
これらの事実より、直線SUと直線ICIAは平行であることが分かります。同様に、直線TUと直線IBICの平行、直線USと直線IAIBの平行が示せるので、「儡TU∽僮AIBIC」が証明できました。(証明終)

図2の凾`BCの頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグすると、図形が変形できます。見事に4つの三角形は相似、または合同に変形していますね。

一つだけ、ビックリ情報を加えておきましょう。図2の内部が塗られている4つの三角形(儡TU,僖EF,儉MN,僮AIBIC)は全て共通のオイラー線を持っています。つまり、この4つの三角形の重心、垂心、外心、九点円の中心は全て同一直線上にあるのです。

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図2

補足:図2の4つの三角形に相似な三角形が、まだ隠れています。儁LIC、儂IBL、僮ANM、僊BIC、僊IBC、僮ABCがそうです。まだ、あるのかな?

ちなみに、凾`BCの傍心IAから凾`BCの辺への垂線の足(図3の点P,Q,R)を頂点とする三角形に相似な三角形を探すと、以下のような図3が得られました。ここも内部を異なる色で塗られている三角形(紫の三角、水色の三角形、緑色の三角形、ピンク色の三角形)は全て互いに相似または合同の関係にあります。キリがないですね。探せばもっと見つかるかもしれません。

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図3

図2の三角形たちと同様に、図3の4つの内部を塗られた三角形たちは、共通のオイラー線をもちます。

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