平面図形の不思議 > 三角形の五心(重心、垂心、外心、内心、傍心)


三角形の五心の定義

三角形の”中心”というべきものの定義のうち、幾何学的に重要なものが
重心、外心、内心、傍心、垂心
の5心です。これらは、定義はそれぞれ全く異なりますが、それぞれ微妙に関わり合い、多くの不思議な、そして美しい性質を見せてくれます。定義は単純ですが、それぞれ奥が深く魅力的です。まずは、平面図形の基本ともいえる5心の定義を紹介しますね。

1. 重心の定義

一様な材質の三角形の板があったとき、この板を下から一点でバランスをとり水平に支えることのできる点、つまり三角形の重力がつりあう点を三角形の重心といいます。三角形の”重心”は次のように定義できることが分かります。

定義 三角形の頂点とそれぞれの対辺の中点とを結ぶ3本の直線(中線という)は一点で交わる。このときの交点を重心という。

以下に「cinderella」により作成した図を示しました。頂点Aと対辺BCの中点Dとを結ぶ中線ADをオレンジ色の線分で図示しました。同様に、頂点Bと対辺CAの中点Eとを結ぶ中線BE、頂点Cと対辺ABの中点Fとを結ぶ中線CFもそれぞれオレンジ色の線分で図示しました。これら3本の中線が一点Gで交わっていますね。定義によりこの点が重心というわけです。

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図1

重心には次の良く知られた性質があり、高校や大学入試などでは基本とされています。

三角形ABCの辺BC,CA,ABの中点をD,E,Fとおく。中線AD,BE,CFの交点である重心Gは線分AD,BE,CFをそれぞれ2:1に内分する。

頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグして、動かすことができます。必ず3つの中線は一点で交わり、重心は破綻なく定義されています。

2. 外心の定義

三角形の3つの頂点を通る円(外接円)の中心を、その三角形の外心といいます。あるいは、外接円の中心による定義よりも、辺の垂直2等分線によって以下のように定義する方が一般的かもしれません。

定義 三角形の辺の中点を通りその辺に垂直な直線を「垂直2等分線」という。三角形の3辺それぞれの垂直2等分線は一点で交わり、その交点を外心という。

上の定義の「3本の垂直2等分線が一点で交わる」という主張は次のように証明できます。

(証明)三角形ABCの辺BC,CA,ABの垂直2等分線をLBC,LCA,LABとおきましょう。垂直2等分線の性質により、LBCは2点BCから等距離の点の集まり、LCAは2点CAから等距離の点の集まりです。したがって、LCAとLBCとの交点は3点A,B,Cから等距離にあるのだから、特にA,Bから等距離でもあるその交点はLAB上にも存在しなければならない。(証明終)

それでは、「cinderella」による図を見てみましょう。三角形ABCの辺BC,CA,ABの中点をD,E,Fとおき、これら3つの中点それぞれを通って辺に垂直な直線(すなわち垂直2等分線)をオレンジ色で図示しました。3つの垂直2等分線は確かに一点Oで交わっていますね。この交点Oが外心です。しかも、上の証明から明らかなように、3つの垂直2等分線の交点は、3つの頂点から等距離に位置するので、外接円(緑色の円)の中心でもあることが分かります。

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図2

外心は外接円の中心でもあること、および外心の定義から次の性質が分かります。

三角形ABCの外心をO,Oから辺BC,CA,ABへ下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとする。
(1) OA=OB=OC 
(2) D,E,FはそれぞれBC,CA,AB中点である。

頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグして、動かすことができます。必ず3つの垂直2等分線は一点で交わり、外心は破綻なく定義されています。

3. 内心の定義

三角形の3つの辺に接し、三角形の内部に含まれる円(内接円という)の中心を、その三角形の内心といいます。あるいは、内接円の中心による定義よりも、角の2等分線によって定義する方が一般的かもしれません。

定義 三角形の3つの内角それぞれを2等分する直線(角の2等分線という)は一点で交わり、その交点を内心という。

上の定義の中の「3つの内角それぞれを2等分する直線は一点で交わる」という主張は次のように証明できます。

(証明)三角形ABCの角A,B,Cの内角の2等分線をL,L,Lとおきましょう。角の2等分線の性質により、Lは2辺AB,CAから等距離の点の集まり、Lは2辺BC,ABから等距離の点の集まりです。したがって、LとLBとの交点は3辺AB,BC,CAから等距離にあるのだから、特に辺CA,BCから等距離であるその交点はL上にも存在しなければならない。(証明終)

それでは、「cinderella」による図を見てみましょう。三角形ABCの角A,B,Cの内角をそれぞれ2等分する直線、すなわち角の2等分線をオレンジ色で図示しました。3つの角の2等分線は確かに一点Iで交わっていますね。この交点Iが内心です。しかも、上の証明から明らかなように、3つの角の2等分線の交点である内心は、3つの辺から等距離に位置するので、内接円(緑色の円)の中心でもあることも分かります。

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図3

内心が内接円の中心でもあること、及び内心の定義から次の性質が分かります。

三角形ABCの内心Iから、辺BC,CA,ABへ下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとすると、
(1) ID=IE=IF
(2) ∠CAI=∠BAI、∠ABI=∠CBI、∠BCI=∠ACI
(3) AE=AF、BF=BD、CD=CE

頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグして、動かすことができます。必ず3つの角の2等分線は一点で交わり、内心は破綻なく定義されています。

4. 傍心の定義

内心を内接円の中心で定義したのに対して、傍接円(三角形の3つの辺に接し、三角形の外部にある円)の中心を、その三角形の傍心といいます。あるいは、傍接円の中心による定義よりも、角の2等分線によって定義する方が一般的かもしれません。

定義 三角形の3つの角のうち、2角の外角を2等分する直線と、残りの角の内角を2等分する直線、合計3本の直線は一点で交わり、その交点を傍心という。

上の定義は簡潔すぎて分かりにくいかもしれません。もう少し具体的に説明しましょう。三角形ABCの角Aの内角の2等分線をLA,角Aの外角の2等分線をLAなどと上付きの添え字、下付きの添え字をつけて区別することにします。同様に、角Bの内角、外角の2等分線をそれぞれLB,LB、角Cの内角、外角の2等分線をそれぞれLC,LCと表すことにします。

さて、3つの角A,B,Cのうち、例えば角A,Bの外角の2等分線LA,LB、角Cの内角の2等分線LCをとれば、これらは一点で交わり、その交点を傍心の1つと定義するわけです。もちろん、他の可能性も考えられます。例えば、角B、Cの外角の2等分線LB,LC、角Aの内角の2等分線LAをとれば、これら3つの直線も1点で交わり、その交点をとれば、別の傍心が得られます。さらに、角C、Aの外角の2等分線LC,LA、角Bの内角の2等分線LBの3つの直線も1点で交わり、その交点をとれば、もう1つ別の傍心が得られるので、合計3つの傍心が得られることなります。

三角形の五心のうち、傍心以外は1つの点として定義されますが、傍心は3つ存在することになります。(下の図1−4を参照すると、より具体的に納得されると思います。)

上の定義の中の「3つの角の2等分線は一点で交わる」という主張は次のように証明できます。

(証明)三角形ABCの外角B,Cの角の2等分線LB,LC、内角Aの角の2等分線LAが一点に交わることのみ証明します。(他の場合は同様だからです。)角の2等分線の性質により、LBは2辺AB,BCから等距離の点の集まり、LCは2辺BC,CAから等距離の点の集まりです。したがって、LBとLCとの交点は3辺AB、辺BC、辺CAから等距離にあるのだから、特に辺AB,辺CAから等距離でもあるその交点はLA上にも存在しなければならない。(証明終)

それでは、「cinderella」による図を見てみましょう。三角形ABCの内角を2等分する直線をオレンジ色の線で図示し、外角を2等分する直線を赤色の線で図示しました。外角の2等分線(赤線)2本と内角の2等分線(オレンジの線)一本、合計3本の直線が一点で交わり、しかもそのような点が合計3箇所(I_A,I_B,I_C)ありますね。これら3つの交点1つ1つが傍心なのです。しかも、上の証明から明らかなように、3つの角の2等分線の交点である傍心は、3つの辺から等距離に位置するので、傍接円(緑の円)の中心でもあることが分かります。

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図4

傍心が傍接円の中心でもあること、及び傍心の定義から次の性質が分かります。

三角形ABCの3つの傍心のうち任意の一つをIとし、傍心Iから、辺BC,CA,AB(あるいはその延長線上)へ下ろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとすると、
(1) ID=IE=IF
(2) ∠CAI=∠BAI、∠ABI=∠CBI、∠BCI=∠ACI
(3) AE=AF、BF=BD、CD=CE

頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグして、動かすことができます。必ず3つの角のうち、2角の外角の2等分線(赤色の線)と残り1つの角の内角の2等分線(オレンジ色の線)は一点で交わり、3つの傍心は破綻なく定義されています。

5. 垂心の定義

三角形の頂点から対辺へ垂線を下ろし、その交点によって、垂心を定義します。その際、垂線と辺が交わらないときは、対辺の延長線に対して垂線を下ろすものと考えてください

定義 三角形の3つの頂点からそれぞれの対辺(またはその延長線)へ垂線を下ろします。このとき、3つの垂線は一点で交わり、その交点を垂心という。

それでは、「cinderella」による図を見てみましょう。三角形ABCの3つの頂点A,B,Cからそれぞれの対辺(あるいはその延長線)へ垂線を引き、これをオレンジ色の直線で図示しました。3つの垂線は確かに一点Hで交わっていますね。この交点Hが垂心です。

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図5

頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグして、動かすことがでます。必ず3つの垂線は一点で交わり、垂心は破綻なく定義されています。

6. 最後に

三角形の五心の定義について定義と基本性質だけを紹介しました。上のcinderellaの図の頂点をドラッグして移動させてみるだけでも、それぞれの五心の定義の違いやイメージをある程度つかむ事ができると思います。

また、これら五心の定義はこのようにシンプルですが、数々の性質や個性、不思議な魅力、奥深さをもっています。今後、平面図形の他の性質とともに、これらをブログで紹介して行きます。

外心と垂心に隠れている合同または相似な三角形

外心と垂心の定義は全く異なるものですが(「三角形の五心の定義」参照)、それぞれいくつかの合同な三角形、あるいは相似な三角形が隠れています。そこで、外心と垂心の図に隠れている合同な三角形、相似な三角形を「cinderella」で作図しました。マウスで図形を動かしてみると、その様子がよく分かると思います。

1.外心に隠れている合同な三角形

下図(図1)に凾`BCとその外接円と外心を図示しました。三角形ABCの外心とは、凾`BCの外接円(緑色の円)の中心でした。外心の定義「3つ辺の垂直2等分線の交点」により、外心Oから3辺へ垂線(青色の線)を下ろし、その足を図のようにD,E,Fとおくと、次の合同な三角形が見つかります。

僊OF≡傳OF,傳OD≡僂OD,凾bOE≡凾`OE

外心の定義により、D,E,Fは辺の中点であったことと、外心が外接円の中心であること、すなわち、OA=OB=OCであることから、これらの合同が証明できます。

下図に示されている通り、合同な三角形の内部を同じ色で塗っています。図の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができるので、同色の三角形どうしがいつも合同に変形されていることを確認してみて下さい。

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図1

2.垂心に隠れている相似な三角形

下図(図2)に凾`BCとその垂心Hを図示しました。垂心の定義「頂点から対辺へ下ろした垂線の交点」により、頂点A,B,Cからそれぞれの対辺へ垂線(青色の線)を下ろし、その足を図のようにD,E,Fとおくと、次の相似な三角形が見つかります

僊HE∽傳HD,傳HF∽僂HE、僂HD∽僊HF

(図形の相似を記号∽で表現しています。)例えば「凾`HE∽凾aHD」を示す場合、垂心の定義により明らかな性質「∠AEH=∠BDH=90°」と、対頂角の性質による「∠AHE=∠BHD」により、凾`HEと凾aHDの等しい2角を見つければよいでしょう。他の場合も同様です。

また、相似の三角形が見つかると、辺の比が等しいことにから線分の長さに関する関係式を見出すこともできます。上の相似から次のような等式が得られます。(ただし、式の中の「AH・HD」はAHの長さとHDの長さの積を表します。)

AH・HD=BH・HE=CH・HF

図示されている通り、相似な三角形の内部を同じ色で塗っています。図の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができるので、同色の三角形どうしがいつも相似の関係を保ちながら変形されていることを確認してみて下さい。

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図2

実は、注意深く垂心の図を観察すると、さらに相似な三角形が隠れていることが分かります。

(1) 僊HE∽僊CD∽傳HD∽傳CE
(2) 傳HF∽傳AE∽僂HE∽僂AF
(3) 僂HD∽僂BF∽僊HF∽僊BD

これらの証明も、三角形の等しい2角を探すことになります。登場する三角形は全て直角三角形なので、直角以外の等しい角を1つ見つければ十分ですね。

また、三角形の相似性から、次の辺の長さの等式が得られます。

(1) AE・AC=AH・AD=AF・AB
(2) BF・BA=BH・BE=BD・BC
(3) CD・CB=CH・CF=CE・CA

他に、4つの点が共通の円周上にあること(共円条件)を示し、方べきの定理をもちいて上の等式や、三角形の相似を示すこともできます。

下にcinderellaで作図した図(図3)を示します。4つの三角形は同じ三角形ABCを表現しており、下の3つの三角形はサイズを1/2に縮小しています。図示されている通り、相似な三角形の内部を同じ色で塗っています。上の三角形の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると上下4つの三角形が同時に動きます。同色の三角形どうしがいつも相似に変形されていることを確認してみて下さい。

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図3

3.垂心と外心に隠れている相似な三角形

ここまで、外心と垂心を分けて図に隠れている合同あるいは相似な三角形を紹介しましたが、外心の図の中の直角三角形、そして垂心の図の中の直角三角形は互いに相似でもあります。

詳しい証明は述べませんが、どの場合も、三角形の2角のうち1つは直角、もう1つは三角形ABCの頂点の角の1つに等しいことが分かり、相似の証明ができます。

この状況を説明するcinderellaの図を図4に示しました。左に外心の図、右に垂心の図がありまずが、2つは同一の三角形ABCについての外心と垂心を表しています。三角形の中の直角三角形の内部は、水色、ピンク色、緑色の3色のどれかで塗られていますが、互いに相似な三角形を図の中で同色の三角形で表現しています。左の三角形の頂点A,B,Cのどれかをマウスで左クリックしたままドラッグすると、両方の図が連動して動きます。そして、同色の三角形が互いに相似の関係を保ちながら変形する様子を観察してみてください。

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図4

ここまで、外心の図、垂心の図、あるいはその両方にまたがって存在している合同な三角形、相似な三角形を紹介しました。これらの関係は、センター試験を始めとする大学入試問題においても重要で、辺の長さや角を求めたりする場合に必要な知識です。図の中に隠れる相似や合同な関係に敏感になると、平面図形の問題に強くなれます。ぜひ、参考にして下さい。

内心と傍心に隠れている合同または相似な三角形

内心と傍心の定義はとても似ていますね(「三角形の五心の定義」を参照)。予想通りある種の対称性があり、合同な三角形、あるいは相似三角形が見つかります。ここでは、内心、傍心の図に隠れている合同な三角形、あるいは相似な三角形について紹介しましょう。

1.内心に隠れている合同な三角形

下図(図1)に凾`BCとその内接円と内心Iを図示しました。三角形ABCの内心とは、凾`BCの内接円(緑色の円)の中心でした。内心の定義「3つの頂点の内角の2等分線の交点」により、内心Iと頂点A,B,Cを結ぶ直線(青色の線)を引き、内心Iから三辺へ垂線(青色の線)を下ろし、その足をD,E,Fとおくと、次の合同な三角形が見つかります。(D,E,Fは内接円と三角形の辺との接点でもあります。)

僊IF≡僊IE,傳ID≡傳IF,凾bIE≡僂ID

内心の定義により、∠FAI=∠EAI,∠DBI=∠FBI,∠ECI=∠DCIであることと、ID⊥BC,IE⊥CA,IF⊥ABにより、これらの直角三角形の合同が証明できます。

図示されている通り、合同な三角形の内部を同じ色で塗っています。図の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができるので、同色の三角形どうしがいつも合同に変形されていることを確認してみて下さい。

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図1

2.傍心に隠れている合同または相似な三角形

下図(図2)に凾`BCとその3つの傍接円と3つの傍心I_A,I_B,I_Cを図示しました。傍心の定義「3つの頂点のうち、2頂点の外角の2等分線と残りの頂点の内角の2等分線の交点」により、3つの傍心と頂点A,B,Cを結ぶ直線(赤色の線)を引き、傍心から三辺へ垂線(青色の線)を下ろし、その足を図のようにL,M,N,P,Q,R,S,T,Uとおくと、次の合同または相似な三角形が見つかります。

(1) 傳NI_A≡傳LI_A∽傳SI_C≡傳UI_C
(2) 僊TI_C≡僊UI_C∽僊RI_B≡僊QI_A
(3) 僂PI_B≡僂QI_B∽僂MI_A≡僂LI_A

証明は内心とほとんど同様なので省略します。

図示されている通り、合同あるいは相似な三角形の内部を同じ色で塗っています。図の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができるので、同色の三角形どうしがいつも合同または相似に変形されていることを確認してみて下さい。

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図2

3.内心と傍心に隠れている相似な三角形

実は上に示した内心と傍心の図に表されている同色の三角形どうしも互いに相似になることが容易に分かります。内心の図(図1)と傍心の図(図2)を合わせて図3に示しました。図3の頂点A,B,Cのどれかを左クリックしたままドラッグすると動かすことができるので同色の三角形どうしがいつも相似に変形されていることを確認してみて下さい。

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図3

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