平面図形の不思議 > 九点円(フォイエルバッハの円)


九点円(フォイエルバッハの円)(その1)

三角形に対して定まる特別な9個の点が同一円周上に並んでしまう、という定理があります。こんなに多くの点がきれいに円をなして並んでしまうところに奇跡を感じてしまうのは私だけでしょうか。

定理 三角形ABCについて、三辺BC,CA,ABの中点をL,M,N、頂点A,B,Cそれぞれから垂線を下ろし、その足をD,E,F、垂心Hと頂点A,B,Cそれぞれとの中点をP,Q,Rとおくと、9点L,M,N,D,E,F,P,Q,Rは同一円周上に位置する。

作図ソフト「cinderella」を用いて次の図を作りました。

頂点A,B,Cからそれぞれの対辺へ垂線(青色の線)を引き、その足をE,F,G、垂心(青色の点)と頂点A,B,Cそれぞれとの中点をP、Q,R、辺BC,CA,ABの中点をL,M,Nとすると、点D,E,F,L,M,N,P,Q,R(えんじ色の9個の点)は全てえんじ色の円周に乗っています。このえんじ色の円が九点円です。見事に9個の点は円周をなして並んでいます。

Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

図の頂点A,B,Cを、マウスで左クリックしたままドラッグすることにより動かしてみることができます。三角形の頂点が移動するに従い、各点も動きますが、9個の点は常に九点円(えんじ色の円)上にいますね。感動してしまいます!

九点円(フォイエルバッハの円)(その2)

「九点円(フォイエルバッハ)(その1)」では、三角形の特別な九個の点が同一円周上にあることを紹介しましたが、むしろ次に紹介する性質こそ驚嘆すべき事実といえるかもしれません。発見者にちなんで「フォイエルバッハの定理」といいます。

定理(フォイエルバッハ) 三角形ABCの九点円は、三角形ABCの内接円、および3つの傍接円(合計4つの円)に接する。

作図ソフト「cinderella」を用いて次の図を作りました。えんじ色の円は9個の点が作る円、すなわち9点円ですが、図の通り9点円は三角形の内接円(紫色の円)、及び3つ傍接円(オレンジ色の円)全てに接しています。


Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。


図の頂点A,B,Cを、マウスで左クリックしたままドラッグすることにより動かしてみることができます。三角形の頂点が移動するに従い、各点も動きますが、九点円(えんじ色の円)は常に内接円(紫色の円)、傍接円(オレンジ色の円)に接しています。私はこの事実を始めて知ったとき信じられませんでしたが、「cinderella」の図を動かしてみてやっと信じることができました。

九点円(フォイエルバッハの円)(その3)

「9点円」「オイラー線」についてのちょっとした関係を紹介しましょう。9点円の中心がオイラー線上に存在すること、さらに、9点円の半径が外接円の半径のちょうど半分であることが証明できます。「九点円(その2)」で内接円、傍接円との関係を紹介しましたが、この定理により外接円、外心、重心にも関わっていることが分かるのです。

定理 三角形ABCの9点円は、外心と垂心の中点を中心にもち、その半径は三角形ABCの外接円の半径の半分である。

上の定理と「オイラー線」の定理から、外心、重心、9点円の中心、垂心の4点がオイラー線上に存在することになります。作図ソフト「cinderella」を用いて次の図を作りました。9点円とその中心をえんじ色で示しています。外心(O)、重心(G)、9点円の中心(S)、垂心(H)の4点がオイラー線(ピンク色の線)上に並んでいることと、9点円の大きさが外接円(黄色の円)の半分であることも確認できますね。


Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。


図の頂点A,B,Cを、マウスで左クリックしたままドラッグすることにより動かしてみることができます。三角形の頂点が移動するに従い、9点円(えんじ色の円)は常に内接円(紫色の円)、傍接円(オレンジ色の円)に接しながらも、その中心は、オイラー線上の外心、重心、垂心、と一定の位置関係を保ちながら動きます。複雑すぎて分かりにくいですが、よくできていますね。完璧に調和しています。

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