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垂線の不思議(その4)

「垂線の不思議(その4)」では、3つ以上の直線や曲線が1点で交わる現象(共点条件)について報告をします。

まず、「垂線の不思議」でテーマとしている図(図1−1)を再掲します。

テーマ図(図1−1)の定義を復習します。三角形ABCの各頂点から、対辺へ垂線を下ろします。3つの垂線の交点を垂心といい、Hで表します。垂線の足Dから辺CA,ABへ垂線を下ろしその足をP,Q、垂線の足Eから辺AB,BCへ垂線を下ろしその足をR,S、垂線の足Fから辺BC、CAへ垂線を下ろしその足をT,Uとおきます。さらに、直線FUと直線ERの交点をL、直線FTと直線DQの交点をM、直線DPと直線ESの交点をNとおきます。

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図1−1

今回は、これら16個の点から得られる直線や円が一点で交わる性質(共点条件)について報告します。

まず、確実に証明できる次の性質(1)、(2)、(3)を紹介しましょう。テーマ図を理解したら、スクロールして図4−1を画面に表示してください。性質(1)、(2)、(3)を図4−1を見なが確認してみてください。

(1) 直線DE,直線SR,直線PQは一点で交わる。交点は線分DEの中点である。
(2) 直線EF,直線RS,直線UTは一点で交わる。交点は線分EFの点である。
(3) 直線FD,直線TU,直線QPは一点で交わる。交点は線分FDの中点である。

(1)、(2)、(3)は三角形ABCの対称性から、ほとんど同じ主張です。「垂直の不思議」シリーズで既に紹介した様々な性質を使ったり、三角形ABCの垂線三角形(凾cEFのこと)の知られている性質を利用したり、様々な証明の仕方があります。ここでは、具体的証明については省略します。なお、(1)の3直線の交点は、四角形TDFQの外接円の中心、(2)の3直線の交点は、四角形PEDSの外接円の中心、(3)の3直線の交点は、四角形RFEUの外接円の中心であることも証明できます。

下にある図4−1の頂点の1つを左クリックたままドラッグして動かしてみてください。常に緑色の直線と2つの濃い赤色の直線が3箇所でそれぞれ1点に交わっています。(1)、(2)、(3)の成立が確認できます。

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図4−1

次から紹介する性質は、私自身まだ証明を得ていないので、予想でしかないのですが、「cinderella」の図を動かしてみると正しいように思います。下にその図を掲載するので、皆さんも確かめてみてください。いずれ時間があれば証明を試みようと思います。

次の性質(4)、(5)、(6)の成立を予想しています。

(4) 直線DE,円FQTD,円EURFは一点で交わる。
(5) 直線EF,円DSPE,円FQTDは一点で交わる。
(6) 直線FD,円EURF,円DSPEは一点で交わる。

下のcinderellaで作成した図4−2の頂点の1つを左クリックしたままドラッグして、頂点を動かしてください。黄色の直線と、赤色の2つの円が3箇所でそれぞれ一点に交わっているように見えます。すなわち、(4)、(5)、(6)が成立していると予想できます。

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図4−2

さらに、cinderellaの作図により予想できる1点で交わる直線、曲線を以下に順に列挙します。

(7) 直線AD,円FQTD,直線UTは一点交わる。
(8) 直線AD,円DSPE,直線RSは一点で交わる。
(9) 直線BE,円DSPE,直線QPは一点で交わる。
(10) 直線BE,円EURF,直線TUは一点で交わる。
(11) 直線CF,円EURF,直線SRは一点で交わる。
(12) 直線CF,円FQTD,直線PQは一点で交わる。

下のcinderellaで作成した図4−3の頂点の1つを左クリックしたままドラッグして、頂点を動かしてみて下さい。青色の直線、茶色の直線、緑色の円が6箇所で、それぞれ1点に交わっていることが確認できます。やはり、(7)から(12)も成立しているようです。

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図4−3

さらに、以下の(13)から(15)を予想しいます。

(13) 直線AD,直線ET,直線FS,直線QPは一点で交わる。
(14) 直線BE,直線FP,直線DU,直線SRは一点で交わる。
(15) 直線CF,直線DR,直線EQ,直線UTは一点で交わる。

下の図4−4の頂点をマウスで動かして、(13)、(14)、(15)の成立を確認してみて下さい。青色の直線、黄緑色の直線、2本の茶色の直線、合計4本の直線が3箇所でそれぞれ1点で交わっているようです。

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図4−4

結局、一点で交わる直線、円の組み合わせが15組も見つかってしまいました。多すぎて、紹介するのも大変です。しかし、このように、cinderellaで適当に作図してみると、思わぬ発見に出会うことも時々あります。興味をもたれた方は、ぜひ、「cinderella」を手に入れて、平面図形の不思議を探求してみてください。

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