平面図形の不思議 > 三角形の五心の不思議


内心、傍心と外接円の美しい関係(2)

内心、傍心と外接円から派生する相似な三角形について紹介しましょう。

内心、傍心と外接円の美しい関係(1)」で、凾`BCの内心が、傍心三角形(傍心を頂する三角形)の垂心であることを紹介しましたが、これにより新たに、相似な三角形を多数見つけることができます。(「外心と垂心に隠れている合同または相似な三角形」参照)

僊BCの内心をI、傍心をIA、IB、ICとおき、内心Iから辺BC,CA,ABへ下ろした垂線の足をそれぞれS,T,Uとします。すると、元の三角形(僊BC)と傍心三角形(僮AIBIC)の内部の三角形について、次のような相似な三角形が見つかります。図1をご覧になると状況が把握しやすいでしょう。右下の僊BCは左上の僊BCの内部を見やすく合同に書き直したものです。右下の僊BCがそのまま左上の僊BCの内部に納まっているものと解釈してご覧になって下さい。

(1) 僮CIB∽僮BIC∽僮TA≡僮UA
(2) 僮AIC∽僮CIA∽僮UB≡僮SB
(3) 僮BIA∽僮AIB∽僮SC≡僮TC

(証明) 他も同様なので、(1)のみを証明しましょう。といっても、内心Iが傍心三角形の垂心でもあることから、前半「僮CIB∽僮BIC」は「外心と垂心に隠れている合同または相似な三角形」で紹介した通り、垂心の性質からほぼ自明です。後半「僮TA≡僮UA」も「内心と傍心に隠れている合同または相似な三角形」で既に説明しています。ここでは、「僮BIC∽僮TAのみ証明すればよいことになります。しかも、どちらも直角三角形であるから、結局、残りの角の1つ「∠ICIB=∠AIT」の証明に帰着してしまいました。
ところが、僮BCの内角、外角の関係を考え、直線IC、直線IBが、それぞれ僊BCの内角∠C,∠Bを2等分することから、

∠ICIB=∠IBC+∠ICB =(∠B+∠C)/2=90-∠A/2

が分かります。さらに直線IAが僊BCの内角∠Aを2等分することから、

∠AIT=90-∠A/2

よって、「∠ICIB=∠AIT」が証明されました。(証明終)

図1の左上に、凾`BCとその内心、傍心、傍心三角形、内接円、傍接円を図示しています。凾`BCの内部の状況が見にくくなるので、右下に凾`BCを書き直しています。図1の左上の僊BCの頂点A,B,Cのどれかにカーソルを合わせ、左クリックしながらドラッグすると図形を変形できます。そして、それに合わせて右下の凾`BCも連動して合同に変形します。さらに、性質(1)(2)(3)で紹介した互いに相似または合同な三角形の内部を同じ色(ピンク色、水色、緑色)で塗りつぶしました。図の変形によって、同色の三角形の相似、合同関係が一貫して保たれていることを確認しておいて下さい。

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図1

次に別のタイプの相似または合同な三角形を紹介しましょう。

上の図1と同様に、凾`BCの内心、傍心、内接円(緑色の円)、傍接円(緑色の円)、外接円(黄色の円)を図示しています。「内心、傍心と外接円の美しい関係(1)」で、説明したとおり、凾`BCの外接円は、傍心三角形僮AIBICの九点円でもあることから、内心I、傍心IA、IB、ICの任意の2点の中点(点D,E,F,L,M,Nで表しています。)を通りました。さらに、内心Iから凾`BCの各辺への垂線の足S,T,Uも図に加えています。図2には、これらの点を頂点とする三角形(儡TU,僖EF,儉MN,僮AIBIC)の内部を塗りつぶしていますが、これらの4つの三角形は合同あるいは相似であることが分かります。(今回は同じ色で塗りつぶすと不明瞭になるため、敢えて異なる色で図示しています。)

儡TU∽僖EF≡儉MN∽僮AIBIC

(証明) 「僖EF≡儉MN∽僮AIBIC」の証明は、中点連結定理で証明できますが、細部は省略します。ここでは、「儡TU∽僮AIBIC」のみ示します。図2をご覧になりながら、証明を追ってみてください。
内心、傍心と外接円の美しい関係(1)」で述べた通り、「内心Iは傍心三角形僮AIBICの垂心」であるから、直線IBと直線ICIAは直交します。
一方、「円外の点から円へ引いた2接線の距離が等しい」という性質によりBS=BU、また、IS、IUはともに内接円の半径であるから、IS=IUです。したがって、直線IBは線分SUの垂直2等分線になります。
これらの事実より、直線SUと直線ICIAは平行であることが分かります。同様に、直線TUと直線IBICの平行、直線USと直線IAIBの平行が示せるので、「儡TU∽僮AIBIC」が証明できました。(証明終)

図2の凾`BCの頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグすると、図形が変形できます。見事に4つの三角形は相似、または合同に変形していますね。

一つだけ、ビックリ情報を加えておきましょう。図2の内部が塗られている4つの三角形(儡TU,僖EF,儉MN,僮AIBIC)は全て共通のオイラー線を持っています。つまり、この4つの三角形の重心、垂心、外心、九点円の中心は全て同一直線上にあるのです。

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図2

補足:図2の4つの三角形に相似な三角形が、まだ隠れています。儁LIC、儂IBL、僮ANM、僊BIC、僊IBC、僮ABCがそうです。まだ、あるのかな?

ちなみに、凾`BCの傍心IAから凾`BCの辺への垂線の足(図3の点P,Q,R)を頂点とする三角形に相似な三角形を探すと、以下のような図3が得られました。ここも内部を異なる色で塗られている三角形(紫の三角、水色の三角形、緑色の三角形、ピンク色の三角形)は全て互いに相似または合同の関係にあります。キリがないですね。探せばもっと見つかるかもしれません。

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図3

図2の三角形たちと同様に、図3の4つの内部を塗られた三角形たちは、共通のオイラー線をもちます。

三角形の頂点と垂心の間の不思議な対称性

垂心には実に不思議で魅力的な数多くの性質があります。おそらくその原因の1つは、今回のタイトル通り「三角形の頂点と垂心の不思議な対称性」にあるのではないか、と私は思っています。

垂心とは、三角形の各頂点から対辺へ下ろした垂線の交点でしたが(「三角形の五心の定義」参照)、あくまで、3つの頂点から定まる「ある特殊な点」でしかないように思えます。ところが、この点は一種の4番目の”頂点”のような振る舞いをしたり、逆に、頂点が”垂心”のような振る舞いをすることがあります。その意味で3つの頂点と垂心、合わせて4つの点は互いに対等に働くように解釈できることがあります。

事実、次の事柄が成立します。

(1) 僊BCの垂心をHとすると、傳CH、僂AH、僊BHの垂心は、それぞれ点A,B,Cである。

証明は難しくありません。垂心の定義を思い出しながら、それぞれの三角形の垂心を求めれば、自然に証明できると思います。

以下の図1は、cinderellaで作成しました。内部をオレンジ色で塗られた三角形A'B'C'がありますね。各頂点から対辺へ垂線(青色の線)を引き、その交点が垂心H'です。頂点A',B',C'のどれかを左クリックしながらドラッグすると、図形を動かすことができます。

図形を動かすと、内部が3色で塗り分けられた合同の僊BCが隠れていることに気付きますね。下に隠れていた僊BCは固定され、動きません。

上の性質(1)を確かめるために、頂点A',B',C'のどれかを左クリック、ドラッグして、下の僊BCの垂心Hの位置まで移動させてみましょう。すると、上の三角形僊'B'C'は傳CH(緑色)、僂AH(黄色)、僊BH(水色)のどれかに重なります。このときの上の三角形の垂心H'の位置に注意してください。おそらく、下の三角形の頂点A,B,Cのどれかに重なっていると思います。すなわち、傳CH、僂AH、僊BHの垂心は、それぞれ点A,B,Cに一致すること(性質(1))が、確認できます。

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図1

性質(1)によって、頂点と垂心が互いに対等であることが分かります。さらに、この対等性、あるいは対称性の考え方を発展させてゆきましょう。

僊BCの各頂点から対辺への垂線の足をそれぞれ点D,E,Fとおきます。頂点A,B,Cと垂心Hの交換により、対応する点D,E,Fはどのように置き換わるでしょうか?

例えば、点Aと点Bを交換すると、点Aから辺BCへの垂線の足Dは、点Bから辺ACへの垂線の足Eに置き換わります。つまり、点A⇔点Bにより点D⇔点Eが誘導されます。

あるいは、点Cと点Hを交換すると、点Aから辺BCへの垂線の足Dは、点Aから辺BHへの垂線の足Eに置き換わります。つまり、点C⇔点Hにより点D⇔点Eが誘導されます。このように考えてゆくと、頂点や垂心の置き換えは、次のように点D,E,Fを伴って置き換わります。

(1) A⇔BのときD⇔E (2) A⇔CのときD⇔F (3) B⇔CのときE⇔F
(4) A⇔HのときE⇔F (5) B⇔HのときD⇔F (6) C⇔HのときD⇔E

早速、頂点A,B,Cと、頂点から対辺へ下ろした垂線の足D,E,F、垂心Hの間の命題へ、これらの間の対称性を応用してみます。

点A,F,H,Eは同一円周上にある。

この命題は相対する角∠AFHと∠AEHがどちらも直角であることから導かれます。置き換え(1)から(6)を適当に施すことにより、次の命題が得られます。

置き換え「A⇔B、D⇔E」により、「点B,F,H,Dは同一円周上にある。」
置き換え「A⇔C、D⇔F」により、「点C,D,H,Eは同一円周上にある。」
置き換え「B⇔H、D⇔F」により、「点A,D,B,Eは同一円周上にある。」
置き換え「C⇔H、D⇔E」により、「点A,F,C,Dは同一円周上にある。」
置き換え「B⇔H、D⇔F」と「A⇔C、D⇔F」により、「点C,F,B,Eは同一円周上にある。」

置き換え(1)から(6)に頼らなくとも、これらの命題は容易に証明できます。前半2つの命題は頂点の対称性から自明で証明の必要すらありませんが、特に頂点と垂心の置き換え(5)(6)により後半3つの命題が導かれるところに、私は「面白さ」を感じました。

下のcinderellaの図を動かしてみると、あなたも「面白い」と感じるかも知れません。図2は、図1に点A',F',H',E'を通る円(紫色の円)を加えただけのものです。頂点A',B',C'のどれかを左クリックしながらドラッグすると上のオレンジ色の三角形だけ変形しますが、下に隠れている三角形は固定されています。

例えば、頂点B'を下の三角形の垂心Hの位置を移動させると、紫色の円は点A,F,C,Dを通る円となります。このように、頂点と垂心の置き換え、あるいは頂点どうしの置き換えをマウスで行ってみてください。これらの移動により一つの円から合計5通りの「4点を通る円周」が見つかります。

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図2

このような例をもう一つ紹介しましょう。次の命題は4点A,F,D,Cが同一円周上にあることから容易に示せます。

僊HC∽僥HD

この命題に置き換え(1)から(6)を次のように施すと、合計11個の相似な三角形の組が見つかります。

置き換え「A⇔B、D⇔E」により、「傳HC∽僥HE」
置き換え「B⇔C、E⇔F」により、「僊HB∽僞HD」
置き換え「C⇔H、D⇔E」により、「僊CH∽僥CE」
置き換え「C⇔H、D⇔E」と置き換え「A⇔B、D⇔E」により、「傳CH∽僥CD」
置き換え「C⇔H、D⇔E」と置き換え「B⇔C、E⇔F」により、「僊BH∽僞BF」
置き換え「A⇔H、E⇔F」により、「僣AC∽僞AD」
置き換え「A⇔H、E⇔F」と置き換え「B⇔C、E⇔F」により、「僣AB∽僥AD」
置き換え「A⇔H、E⇔F」と置き換え「A⇔B、D⇔E」により、「僣BC∽僖BE」
置き換え「B⇔H、D⇔F」と置き換えにより、「僊BC∽僖BF」
置き換え「B⇔H、D⇔F」と置き換え「B⇔C、E⇔F」により、「僊CB∽僖CE」
置き換え「B⇔H、D⇔F」と置き換え「A⇔B、D⇔E」により、「傳AC∽僞AF」

やはり、どの証明も難しくはありませんが、一組の相似な三角形の組から11組もの相似な三角形の組が見つかるなんて意外な気がしませんか?垂心恐るべし・・・。

このような例はまだまだありますが、最後に9点円の命題に置き換えを施して何が得られるかを考察しましょう。9点円については「九点円(フォイエルバッハの円)(その1)」を参照して下さい。

辺BC,CA,ABの中点をL,M,Nと置き、線分AH,BH,CHの中点をP,Q,Rとすると、上と同様な考察により、頂点と垂心の置き換えに伴って、他の点たちは次のように置き換わります。

(7) A⇔BのときD⇔E、L⇔M、P⇔Q
(8) A⇔CのときD⇔F、L⇔N、P⇔R
(9) B⇔CのときE⇔F、M⇔N、Q⇔R
(10) A⇔HのときE⇔F、M⇔N
(11) B⇔HのときD⇔F、L⇔N
(12) C⇔HのときD⇔E、L⇔M

この置き換えにより次の9点円の命題はどのように置き換わるかを考えて見ましょう。

命題(c) 僊BCに対して定義される点D,E,F,L,M,N,P,Q,Rの9つの点は同一円周上にある。この円を僊BCの”9点円”という。

(10)の変換「A⇔H、E⇔F、M⇔N」を施してみると、命題(c)は次の命題(c)'に変換されます。

命題(c)’ 僣BCに対して定義される点D,F,E,L,N,M,P,Q,Rの9つの点は同一円周上にある。

このように、9点円を定義する9つの点は順序を変えただけで、集合としては変わっていません。したがって、僣BCの9点円は、僊BCの9点円と全く同一の円であることが分かります。

このようにして、命題(c)に変換(10)(11)(12)を施すことにより、結局、頂点と垂心の間の対称性の考察より、次の命題が証明されてしまいました。

命題(d) 僊BC、僣BC、僣CA、僣ABの9点円はすべて共通である。

この命題は、「九点円(フォイエルバッハの円)(その3)」で紹介した、性質そのものです。ぜひ、このリンクによりページを移動して、記事の中のcinderellaの図を動かして、命題(d)を確かめてみてください。

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