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無限に続くミケル点とミケル円

完全四辺形から、「ミケル点」が決まり、これにもう一本直線を加え、5本の直線を考えることで決まる5個のミケル点が同一円周上に並ぶ。そして、これを「ミケル円」と呼ぶ。という話をしていました。(参照:ミケル点ミケル円

とすると、直線をさらに増やしていくとどうなるかが、気になるところ。

実際、驚くべき事実が知られています。次のクリフォードの定理です。

クリフォードの定理 どの2本も平行でなく、どの3本も共通の交点をもたないn本の異なる直線 l1,l2,...,lnがあるとする。
(1) n=4のとき、ミケル点が決まる。
(2) n=5のとき、任意の4本の直線から決まるミケル点(計5点)は同一円周上に存在する。これをミケル円という。
(3) n=6のとき、任意の5本の直線から決まるミケル円(計6円)は1点で交わる。これをn=6のミケル点という。
(4) n=7のとき、任意の6本の直線から決まるミケル点(計7点)は同一円周上に存在する。これをn=7のミケル円という。
(5) n=8のとき、任意の7本の直線から決まるミケル円(計8円)は1点で交わる。これをn=8のミケル点という。
・・・
以下、このように、奇数本の直線からミケル円が決まり、偶数本の直線からミケル点が決まる。
無限に続くヒエラルキー・・・。言葉を失ってしまいます。例によって、cinderellaで作図してみました。
最初の図は、n=5の場合ですが、既に「ミケル円」において載せたものと同じような図です。n=4におけるミケル点(黄色の5個の点)が黄色の円周上(n=5におけるミケル円)にきれいに並んでいます。点a12,a23,a34,a45,a15を左クリックしながらドラッグすると、図形が変形します。 Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。 次にn=6とn=7の場合の図です。n=5のミケル円(黄色の円)が水色の点で交わっていますが、これがn=6におけるミケル点になります。そして、水色のミケル点(計7点)が水色の円周(n=7のミケル円)上に並んでいます。やはり、点a12,a23,a34,a45,a67,a17を左クリックしながらドラッグすると、図形が変形します。 Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。 最後に、n=8とn=9の図も作ってみました。一段と複雑になり、何がなんだか分からない図になってしまいました。n=8のミケル点を紫の点で表し、n=9のミケル円を紫の円で表しています。 Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

無限に続くミケル点とミケル円(その2)

前回の記事無限に続くミケル点とミケル円で紹介した「クリフォードの定理」を適当な円に関する「反転」を行うことにより、次のような形で述べられることがあります。一見、違う定理に見えますが、前回の記事の「クリフォードの定理」と全く同値な定理ですから、これも「クリフォードの定理」といいます。
クリフォードの定理
(1) ある1点Oを共有する4つの円a_1,a_2,a_3,a_4がある。円a_i,a_jのO以外の交点をa_ijとし、交点a_ij,a_jk,a_klを通る円をa_ijkとする。このとき、円a_123,a_124,a_134,a_234は1点を共有する。この点をA_1234とする。
(2) ある1点Oを共有する5つの円a_1,a_2,a_3,a_4,a_5がある。このとき、5つの点A_1234,A_1235,A_1245,A_1345,A_2345は同一円周上に存在する。この円をa_12345とする。
(3) ある1点Oを共有する6つの円a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6がある。このとき、6つの円a_12345,a_12346,a_12356,a_12456,a_13456,a_23456は1点を共有する。この点をA_123456とする。
(4) ある1点Oを共有する7つの円a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7がある。このとき、(3)で定まる7つの点A_123456,A_123457,A_123467,A_123567,A_124567,A_134567,A_234567は同一円周上に存在する。この円をa_1234567とする。
・・・
以下、このように、奇数本の円から円a_123...nが決まり、偶数本の円から点A_123...nが定まる。
円が5つの場合を以下の図に示しましょう。上のクリフォードの定理(1)の点A_1234,A_1235などを黄色の点、(2)の円a_12345を黄色の円で表しています。5つの円の中心A1,A2,A3,A4,A5のどれかを左クリックしながらドラッグすることにより図形を変形することができます。 Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。 次に、円が7つの場合を図示しましょう。上のクリフォードの定理(3)の点A_123456,A_123457などを水色の点、(4)の円a_1234567を水色の円で表しています。7つの円の中心A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7のどれかを左クリックしながらドラッグすることにより図形を変形することができます。 Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。 最後に、円が9つの場合を図示します。上のクリフォードの定理の点A_12345678,A_12345679などを紫色の点、円a_123456789を紫色の円で表しています。 Javaをインタラクティブ作図用に使えるようにしてください。

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