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シムソンの定理とは

シムソンの定理という有名な定理があります。とても、シンプルで分かりやすく、明快で、興味深い定理です。そして、この定理には数多くの拡張があり、初等幾何学の他の有名な定理や性質ともいろいろな形で関わりあっています。シンプルではあるけれど、とても奥の深い定理だと思います。
定理(シムソン) 僊BCとその外接円上に点Pがあるとする。点Pから直線BC,CA、ABへ下ろした垂線の足を点D,E,Fとすると、3点D,E,Fは同一直線上にある。この直線を「点Pの僊BCに対するシムソン線」という。

図1にcinderellaの図を示しました。内部をオレンジ色に塗られた僊BCとその外接円(水色)上の点Pが与えられています。点Pからオレンジ色の細い直線BC,CA,ABへ垂線(紫色の細い線)を下ろし、その足をD,E,Fとしました。この3点D,E,Fが太いえんじ色の直線上に並んでいますね。

僊BCの頂点A,B,C、そして外接円上の点Pのどれかを左クリックしながらドラッグすると点が移動します。3点D,E,Fが常に太いえんじ色の直線上に並んでいることを確認できます。

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図1

図1の点Pをマウスで動かしてみると、外接円に沿って移動します。点Pを外接円に沿って時計方向(反時計方向)に回転すると、シムソン線(えんじ色の線)は反時計方向(時計方向)に回転します。面白い動き方に感じました。

冒頭に述べたように、「シムソンの定理」にはいろいろな拡張や性質がたくさん隠れているのですが、全部は紹介しきれないと思います。気が向いたら少しづつ、その一部でも紹介するつもりです。

追記

点Pが外接円上を動くとき、シムソン線の包絡線は、なんとデルトイド曲線になることを最近知りました。すなわち、シムソン線は常に1つのデルトイド曲線に接するような動きかたをするのです。

ちなみに、デルトイド曲線とは定円の内側を大きさ1/3(または2/3)の円が滑らずに転がるときの円上に固定された点の軌跡のことです。

点Pを左クリックしながらドラッグすると、外接円上を動きます。このとき、シムソン線がデルトイド曲線に接しながら回転する様が観察できます。ちなみに、中央の黄色の円は凾`BCの九点円です。デルトイド曲線は九点円と接することも最近知りました。頂点A,B,Cもマウスで動かせるので、三角形の形を変形して調べてみて下さい。驚くことに、三角形の形状に関係なくシムソン線は正確にデルトイド曲線に接するのです。

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さらに、外接円と三角形の垂心を固定した状態で、凾`BCを回転させると、外接円上の固定点Pと凾`BCで決まるシムソン線は常にある定点Qを通るように回転します。ここで、点Qは、点Pと凾`BCの垂心の中点になります。(しかも、この点は凾`BCの九点円上です。)

ただし、下図では、三角形の頂点のうち、点Aのみ外接円上を動かすことができます。点Aを左クリックしながらドラッグしてみてください。小豆色のシムソン線が定点Qの周りを回転しますよね。他に、垂心H、外接円の半径、点Pを同様にマウスで移動、変更できます。初期設定を変えて試してもシムソン線は定点Qを通ります。

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シムソンの定理の拡張(その1)

有名なシムソンの定理を「シムソンの定理とは」で紹介しましたが、その拡張の1つを紹介しましょう。通常のシムソンの定理とは、円に内接する三角形と、その円周上の点Pに関する性質でしたが、円に内接する四角形、五角形、より一般の多角形について成り立つ同様の性質を追求して得られた定理です。

通常の「シムソンの定理」と、円に内接する四角形、五角形の場合の定理を以下に示しますが、一般の多角形の場合も、帰納的に同様に成立します。

定理(シムソン) 円に内接する僊BCと円周上に点Pがあるとする。点Pから直線BC,CA,ABへ下ろした垂線の足を点D,E,Fとすると、これら3点D,E,Fは同一直線上にある。この直線を点Pの僊BCに対するシムソン線という。
定理(四角形) 円に内接する四角形ABCDと円周上に点Pがあるとする。点Pの傳CD、僊CD、僊BD、僊BCに対するシムソン線(合計4本の直線)へ点Pから引いた垂線の足(合計4個の点)は同一直線上にある。この直線を点Pの四角形ABCDに対するシムソン線という。
定理(五角形) 円に内接する五角形ABCDEと円周上に点Pがあるとする。点Pの四角形BCDE、四角形ACDE、四角形ABDE、四角形ABCE、四角形ABCDに対するシムソン線(合計5本の直線)へ点Pから引いた垂線の足(合計5個の点)は同一直線上にある。この直線を点Pの五角形ABCDEに対するシムソン線という。

円に内接する四角形に対するシムソンの定理を図1に示しました。水色の円周上に4点A,B,C,Dと点Pがあります。点Pから6本のオレンジ色の細い線へ垂線(紫色の細い線)を下ろすと、これらの6個の点は、4つのシムソン線(えんじ色の線)上にあります。さらに、4つのシムソン線へ下ろした垂線(黄色の細い線)の足が黄緑色の直線上に並んでいますね。この直線が四角形ABCDに関するシムソン線です。

図1の四角形ABCDの頂点A,B,C,Dと点Pのどれかを左クリックしながらドラッグするとその点が移動します。点が移動しながらも、定理の美しい性質はいささかも崩れず、乱れません。

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図1

私は、この定理のとても簡単な証明を見つけました。複素数の2,3行の計算でその本質が分かります。この自画自賛のすごい証明をいずれ紹介しようと思います。

シュタイナー線とは

有名なシムソンの定理を「シムソンの定理とは」において紹介しました。今回の記事では、このシムソン線と関連性の強いシュタイナー線について説明しましょう。

定理(シュタイナー) 円に内接する僊BCと円周上の点Pがあるとする。点Pの直線BC,CA,ABに関する線対称な点をRa,Rb,Rcとおくと、これら3点は同一直線上にある。この直線を点Pの僊BCに対する”シュタイナー線”という。僊BCのシュタイナー線は、点Pの位置に関わらず、常に僊BCの垂心を通る。

3点Ra,Rb,Rcが同一直線上にあることは、シムソンの定理より明らかです(「シムソンの定理とは」を参照のこと)。なぜなら、点Pについて、シムソン線を2倍に拡大移動させることにより、シュタイナー線が定義できるからです。このことは、下に示している図1をご覧になると一層納得できます。この定理の本質は、シュタイナー線が三角形の垂心を通る、という部分にあります。

図1に僊BCとその外接円上の点Pにより定まるシムソン線(えんじ色)とシュタイナー線(紫色)を示しました。点Pを中心にシムソン線を2倍に拡大するとシュタイナー線になります。点Pを左クリックしながらドラッグすると動かせます。点Pの位置によらず、シュタイナー線は僊BCの垂心Hを通っていることを観察して下さい。また、点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグすると、僊BCを変形できます。

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図1

次回は、シュタイナー線とシムソン線について、私が個人的に興味をもっている性質を「三角形の傍接放物線」において紹介します。

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