平面図形の不思議 > シムソンの定理


三角形の傍接放物線

三角形の3辺に接する放物線のことを「三角形の傍接放物線」と言います。三角形と放物線が接する、というのが意外ですし、そんな放物線が存在するのだろうか?という疑問と期待が沸いてきます。初めてこれを知ったとき、私はとてもワクワクしました。

放物線とは、文字通り物体を放り投げた時に描く曲線です。y=ax2で表せる2次関数として、中学、高校などで教わった方も多いでしょう。数学では通常、放物線を次のように定義します。

定義(放物線) 直線LとL上にない点Fが与えられているとき、直線Lと点Fから等距離にある点の集まりを、放物線Cと定義し、このときの点FをCの焦点、直線LをCの準線と言う。点Fから準線へ下ろした垂線の足と点Fの中点を放物線の頂点という。

「シュタイナー線とは」、「シムソンの定理とは」をご覧になって、シュタイナー線、シムソン線について知っておくと、次に述べる定理が理解しやすくなると思います。

定理 僊BCの外接円上にある頂点A,B,C以外の任意の点Pを焦点とし、点Pのシュタイナー線を準線とする放物線は、直線BC,CA,ABに接する。これを、僊BCの傍接放物線という。また、点Pのシムソン線は、放物線の頂点における接線である。

上の定理を下の図2に示しました。僊BC(オレンジ色の円)と点Pが外接円上にあり、シュタイナー線(紫色)、シムソン線(えんじ色)があります。点Pを焦点、シュタイナー線を準線にもつ放物線(水色の曲線)は僊BCの3辺(赤の直線)に接しています。シムソン線、シュタイナー線を定義する、点Pa,PbPc,Qa,Qb,Qcについては、「シムソンの定理とは」「シュタイナー線とは」を参照して下さい。

点Pと僊BCの3つの頂点のどれかを左クリックしながらドラッグすると動かすことができます。点の移動とともに放物線も移動、変形しますが、常に3つの直線BC,CA,ABに接しています。

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図1

なお、傍接放物線と3辺の接点は、図1の点Qa,Qb,Qcを通りシュタイナー線に直交する直線上にあることも証明できます。図1にこの垂線を細い青の直線で示しています。ここで、点QaQb,Qcは、それぞれ点Pの直線BC、直線CA、直線ABに関する線対称な点です。

私は、僊BCに傍接放物線というものが存在し、シムソン線、シュタイナー線がそれぞれ頂点における接線、準線として意味があるということに意外性を感じ、驚きました。

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