平面図形の不思議 > 等角共役点


等角共役点の定義

私のお気に入りの概念である有名な「等角共役点」について紹介します。等角共役点を通して、垂心、外心の関係の理解が深まったり、「九点円」や「シムソン線」「シュタイナー線」などの他の幾何学的概念の意外な関係が分かったりします。「等角共役点」の性質や関連事項もとても多いので、順に少しづつ紹介してゆきます。
定義(等角共役点)僊BCの∠A、∠B、∠Cの内角の2等分線をそれぞれa,b,cとおく。僊BCと、任意の点Pに対して、直線APの直線aに関する線対称な直線、直線BPの直線bに関する線対称な直線、直線CPの直線cに関する線対称な直線、合計3つの直線はちょうど一点で交わる。このとき3直線の交点を点Pに対する等角共役点という。

定義から明らかなように、僊BCのある点Pに対する等角共役点を点Qとすると、点Qに対する等角共役点は、元の点Pになります。

また、定義の中の「3つの直線がちょうど一点で交わる」という性質は証明を必要とします。詳しくは述べませんが、これはチェバの定理により証明できます。

次の図1に等角共役点を説明する図を示しました。僊BCの内部に水色の大きめの点Pがあります。青色の細い直線AP,BP,CPの、それぞれ∠A、∠B、∠Cの内角の2等分線(暗い緑の線)による線対称な直線をオレンジ色の細い直線で示しています。これら3つの直線は定義で述べている通り一点で交わります。このときの交点Q(緑色の大きめの点)が、点Pの”等角共役点”になります。

図1の点Pを左クリックしながらドラッグすると、点Pとともに点Qも移動します。この互いに等角共役な2点がどのような位置関係にあるかを観察できます。また、僊BCの頂点A,B,Cのどれかを左クリックしながらドラッグして移動させることもできます。異なる形状の三角形にしてから、等角共役な2点の動きを観察しても面白いでしょう。

特に、点Pを僊BCの辺に近づけると、点Qは頂点に近づき、点Pを頂点に近づけると、点Qは辺に近づきます。そして、点Pが僊BCの外部に出た瞬間、点Qも外部に出て、点Pが僊BCの内部に入った瞬間、点Qも内部に入ります。2点は緊密に連携しながら微妙な位置を保っているようです。

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図1

等角共役点と五心の関係

”等角共役点”という初等幾何学の有名な概念を紹介しています。”等角共役点”がどういうものかを知りたい方、初めてお知りになった方は以下の記事をお読みになる前に、「等角共役点の定義」をご覧になって、定義をつかむことをお勧めします。

等角共役点を考えることにより、三角形の五心(重心、外心、内心、傍心、垂心)の位置付けが分かります。そして、等角共役点を理解することにより、三角形の五心についても一層理解が深まります。そういう意味でも重要な概念といえます。次が今回の記事で紹介したい性質です。

僊BCにおいて、
(1) 外心と垂心は互いに等角共役な点である。
(2) 内心の等角共役点は、内心自身である。
(3) 傍心の等角共役点は、その傍心そのものである。

証明は難しくありません。(2)、(3)は定義そのものからほとんど自明です。(1)を証明するには、「∠BAO=∠CAH、∠CBO=∠ABH、∠ACO=∠BCH」を示す必要がありますが、これについては、「垂心と外接円の美しい関係」の図1をご覧になれば明らかであることが分かります。

何より、cinderellaの図が説得してくれます。次の図1にそれを与えています。

点Pをマウスで左クリックしながらドラッグして動かしてみてください。点Pの移動とともに、等角共役点である点Qも移動します。同時に僊BCの外心、垂心、内心、傍心が示されています。

性質を確認するために、点Pを垂心、(または外心)に移動させてみましょう。このときの点Qの移動先が、垂心、(または外心)の等角共役点というわけですね。外心、(または垂心)に移動する点Qが観察できるでしょうか?また、点Pを内心に移動すると、点Qも同じ内心に重なります。つまり、内心の等角共役点は、内心自身です。さらに、点Pを傍心へと移動させてみましょう。点Qがどんどん遠ざかって不安になりますが、点Pが傍心に近づくと、反対側から点Qが突然出現し、互いに等角共役な2点P,Qは傍心で重なります。もちろん3つの傍心全てについてこのような現象がおきます。完璧に狂いなく性質(1)(2)(3)が成立していますね。

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図1

三角形の五心のうち重心についてはまだ説明していませんでした。実は、重心の等角共役点は、三角形の五心とは異なる点になります。等角共役点には非常に多くのきれいな性質があるので、重心の等角共役点についても、何らかの特別な意味や性質があるのではないか、と期待したくなります。

事実、重心の等角共役点のことを”ルモアンヌ点”といいます。ルモアンヌという数学者が、この点について研究しました。そして、今では、ルモアンヌ点についてたくさんの魅力的な性質が知られています。これについては、別の機会に紹介したいと思います。

等角共役点と6点円

等角共役点について触れなければならない性質の1つに、ある6点を通る円の存在があります。


本題に入る前に、等角共役点の定義を復習しましょう。


定義(等角共役点)僊BCの∠A、∠B、∠Cの内角の2等分線をそれぞれa,b,cとおく。僊BCと、任意の点Pに対して、直線APの直線aに関する線対称な直線、直線BPの直線bに関する線対称な直線、直線CPの直線cに関する線対称な直線、合計3つの直線はちょうど一点で交わる。このとき3直線の交点を点Pに対する等角共役点という。

このとき、次の事実が成り立ちます。


性質1
三角形ABCと、互いに等角共役な2点P,Qがあるとする。点Pから凾`BCの3辺へ下ろした垂線の足をP1,P2,P3とし、点Qから凾`BCの3辺へ下ろした垂線の足をQ1,Q2,Q3とすると、これらP1からQ3までの6点は、同一円周上に存在する。また、円の中心は、2点P,Qの中点である。

この状況をcinderellaで図にしてみました。互いに等角共役な2点P,Qからそれぞれ3辺へ下ろした垂線の足である6つの点(緑の点)が、確かに紫の円の上に並んでいますね。点Pを左クリックしながらドラッグして移動してみて下さい。点Pとともに、等角共役の関係を保つべく点Qも移動しますが、垂線の足6点は、常に紫の円の上に並びます。凾`BCの頂点も同様の方法で移動できるので、三角形の形を変形して試してみて下さい。

















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実は上の性質1と同じことなのですが、次のように表現することもできます。


性質2
三角形ABCと、互いに等角共役な2点P,Qがあるとする。さらに、点Pから凾`BCの3辺へ下ろした垂線の足をP1,P2,P3とし、点Qから凾`BCの3辺へ下ろした垂線の足をQ1,Q2,Q3とする。これら垂線の足である6つの点それぞれに対する点Pの点対称な点(合計6点)は、点Qを中心とする同一円周上に存在する。同様に、これら6つの点それぞれに対する点Qの点対称な点(合計6点)は、点Pを中心とする同一円周上に存在する。

cinderellaで作成した下図では、点Pの点対称な6点の円のみを図示しました。文章では分かりにくいので、下の図を参考にすると、少し分かり易いと思います。性質1の円を紫色で描き、性質2の円を緑で描いています。

















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三角形の点Pを左クリックしながらドラッグすることにより移動できます。互いに等角共役である点Qを連動して動きますが、性質1の6点は常に紫の円の上にあり、性質2の6円も常に緑の円の上に並んでいることが分かります。三角形の頂点A,B,Cも同じ方法で移動できるので、試してみて下さい。

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